高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案:第一章 §2 2.1 圆周角定理
10页1、21圆周角定理对应学生用书P121圆周角定理(1)文字语言:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半(2)符号语言:在O中,所对的圆周角和圆心角分别是BAC,BOC,则有BACBOC.(3)图形语言:如图所示2圆周角定理的推论(1)推论1同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等(2)推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弧是半圆1圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗?提示:一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系2推论1中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗?提示:不成立因为一条弦所对的圆周角有两种可能,在一般情况下是不相等的对应学生用书P13利用圆周角定理解决计算问题例1已知ABC内接于圆O,OBC35,求A.思路点拨本题主要考查圆周角定理顶点A的位置不确定,所以点A和圆心O可能在BC的同侧,也可能在BC的异侧精解详析(1)当点A和圆心O在BC的同侧时,如图所示OBOC,OBCOCB.OBC35,BOC1802OBC110.BACBOC55.(2)当点A和圆心O在BC的异侧
2、时,如图所示设P为圆上与圆心O在BC的同侧一点,连接PB,PC.OBOC,OBCOCB.OBC35,BOC1802OBC110.BPCBOC55.BAC180BPC18055125.综上所得,A的度数是55或125.使用圆周角定理时,一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件1如图,ABC内接于O,ODBC于D,A50,则OCD的度数是()A40B25C50 D60解析:选A连接OB.因为A50,所以BC弦所对的圆心角BOC100,CODBOC50,OCD90COD905040.所以OCD40.例2如图,已知AB为O的直径,AC为弦,ODBC,交AC于D,BC4 cm.(1)试判断OD与AC的关系;(2)求OD的长;(3)若2sinA10,求O的直径思路点拨本题主要考查圆周角定理推论2的应用解题时,可判断ACB90.利用ODBC可得ODAC.用相似可得OD的长,由边角关系可求O的直径精解详析(1)AB为O的直径,ACB90.ODBC,ADOACB90,ODAC.(2)AODABC,ODBC42(cm)(3)2sin A10,sin A.sin A,AB2BC248(cm)“半圆
3、(直径)所对的圆周角是直角,和直径能构成直角三角形”这一性质应用广泛,解题时注意直角三角形中有关定理的应用本例的条件变为:“弦AC4,BC3,CDAB于D”,求CD.解:由勾股定理知AB5,SACBACBCABCD,345CD,CD.利用圆周角定理解决证明问题例3如图,BC为圆O的直径,ADBC,BF和AD相交于E,求证:AEBE.思路点拨本题主要考查利用圆周角定理证明问题解题时只需在ABE中证明ABEEAB.而要证这两个角相等,只需借助ACB即可精解详析BC是O的直径,BAC为直角,又ADBC,RtBDARtBAC.BADBCA.,FBAACB.BADFBA.ABE为等腰三角形AEBE.有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧及弦可以相互转化即欲证圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等这是证明圆中线段相等的常用方法2如图,AB是O的直径,C为圆周上一点,ABC30,O过点B的切线与CO的延长线交于点D.求证:(1)CABBOD.(2)ABCODB.证明:(1)因为AB是O的直径,所以ACB90,由ABC30,所以CAB60.又OBOC,所以OCB
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