高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案：第一章 &amp#167;2 2.3 直线和圆的极坐标方程

23直线和圆的极坐标方程对应学生用书P91曲线的极坐标方程(1)意义：在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程(，)0建立了如下的关系：曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(，)满足方程(，)0；极坐标满足方程(，)0的点都在曲线C上那么方程(，)0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程(，)0的曲线(2)求极坐标方程的步骤：求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：建立适当的极坐标系；在曲线上任取一点M(，)；根据曲线上的点所满足的条件写出等式；用极坐标，表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；证明所得的方程是曲线的极坐标方程通常第步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可2常见直线和圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为的直线(1)(R)或(R)(2)(0)和(0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点(a，)，与极轴平行的直线sin_a(0<<)圆心在极点，半径为r的圆r(0<2)圆心为C(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为C(r，)，半径为r的圆2rsin_(0<)1曲线的极坐标方程与直角坐标方程有何异同？提示：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组满足极坐标方程有些表示形式可能不满足方程例如，对极坐标方程，点M可以表示为或等多种形式，其中只有的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程2在极坐标系中，与tan 1表示同一条直线吗？提示：表示同一条直线3在极坐标系中，1或1表示同一个圆吗？提示：表示同一个圆对应学生用书P9射线或直线的极坐标方程例1求：(1)过点A平行于极轴的直线的极坐标方程(2)过点A且和极轴成角的直线的极坐标方程思路点拨本例主要考查直线的极坐标方程以及正弦定理等三角、平面几何知识，同时亦考查了数形结合思想，解答此题需要先设待求直线上任一点M(，)，寻找到，满足的几何等式，建立关于，的方程，再化简即可精解详析(1)法一：如图在直线l上任取一点M(，)，在OAM中|OA|2，|OM|，OAM，OMA(或)在OAM中，由正弦定理得，sin .点A也满足上述方程因此过点A平行于极轴的直线的极坐标方程为sin .法二：如图，在直线l上任取一点M(，)，过M作MH极轴于H点A点坐标为，|MH|2sin.在直角三角形MHO中，|MH|OM|sin ，即sin ，点A也满足此方程过点A平行于极轴的直线的极坐标方程为sin .(2)如图，设M(，)为直线l上一点已知A，故|OA|3.AOB，又已知MBx，OAB.又OMA，在MOA中，根据正弦定理得，又sinsinsin，将sin展开化简代入可得(sin cos )，又点A也满足上述方程，所以过点A且和极轴成角的直线的极坐标方程为：(sin cos ).在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般思路：在直线上设M(，)为任意一点，连接OM；构造出含OM的三角形，再利用正弦定理求OM，即把OM用表示，即为直线的极坐标方程若将本例(2)中点A变为(2,0)，变为，则直线的极坐标方程如何？解：设M(，)为直线上除A点以外的任意一点，连接OM，则在AOM中，AOM，AMO，OAM，OM，由正弦定理可得.sincos cossin 1.化简得：cos sin 2.经检验点(2,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )2，其中，0<(0)和<2(0).圆的极坐标方程例2求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上思路点拨本题考查圆的极坐标方程及解三角形的知识，解答此题需要先设圆上任意一点M(，)，建立等式转化为，的方程，化简即可精解详析由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|2r，连接AM，则OMMA，在RtOAM中，|OM|OA|cosAOM，即2rcos，4sin .经验证，点O(0,0)，A的坐标满足上式所以满足条件的圆的极坐标方程为4sin .sin ，4sin 4sin 2，点在此圆上在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路：在圆上设M(，)为任意一点，连接OM，构造出含OM的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM，即把OM用表示，从而得到圆的极坐标方程1求半径为1，圆心在点C的圆的极坐标方程解：设圆C上的任意一点为M(，)，且O，C，M三点不共线，不妨设如图所示情况，在OCM中，由余弦定理得：|OM|2|OC|22|OM|OC|cos COM|CM|2，296cos1.即26cos80，经检验知，当O，C，M三点共线时的点M的坐标也适合上式当<时，也满足该式，所以半径为1，圆心在C的圆的极坐标方程为26cos80.求动点的轨迹的极坐标方程例3设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹的极坐标方程思路点拨本题考查极坐标系的建立、曲线的极坐标方程的一般求法及解三角形知识，解答此题需要按求曲线极坐标方程的五个步骤进行即可精解详析设直角三角形的斜边为OD，它的长度是2r，以O为极点，OD所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示设P(，)为轨迹上的一点，则OP，xOP.在直角三角形ODP中，OPODcos .OP，OD2r，2rcos (0，2r)这就是所求轨迹的方程在极坐标系中求动点的轨迹的极坐标方程的方法与在直角坐标系中求动点的轨迹的直角坐标方程的方法和思路类似，只不过建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，的联系，找出这样的三角形成了解题的关键2O为已知圆O外的定点，点M在圆O上，以OM为边作正三角形OMN，当点M在圆O上移动时，求点N的轨迹方程(O，M，N按逆时针方向排列)解：以O为极点，以O和已知圆圆心O所在射线为极轴，建立极坐标系，如图，设|OO|0，圆的半径为r，由余弦定理得圆O(1，1)的极坐标方程为201cos 1r20.设N(，)，M(2，2)，点M在圆O上，202cos 2r20.OMN为正三角形，即代入得220cosr20，这就是点N的轨迹方程本课时常考查直线或圆的极坐标方程的求解，同时考查平面几何及解三角形知识考题印证(安徽高考)在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A0(R)和cos 2B(R)和cos 2C(R)和cos 1D0(R) 和cos 1命题立意本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，圆的方程及其切线的求解考查学生知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识自主尝试由2cos 可得x2y22x(x1)2y21，所以圆的圆心为(1,0)，半径为1，与x轴垂直的圆的切线方程分别是x0，x2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是(R)和cos 2.答案B对应学生用书P11一、选择题1极坐标方程cos表示的曲线是()A双曲线B椭圆C抛物线 D圆解析：选Dcoscos cos sin sin cos sin ，2cos sin ，即x2y2xy.化简整理，得22，表示圆. 2(江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0解析：选A因为xcos ，ysin ，且y1x，所以sin 1cos ，所以(sin cos )1，.又0x1，所以0y1，所以点(x，y)都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0.3圆2asin 关于极轴对称的圆的方程为()A2acos B2acos C2asin D2asin 解析：选C法一：根据对称规律，把代入原方程，可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程2asin 关于极轴对称的曲线方程为2asin()即2asin .法二：因为圆2asin 的圆心是，半径为a，该圆关于极轴对称的圆的圆心应为，半径仍为a，其方程应为：2acos.即2asin .4过点A(2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是()Acos 2 Bsin 2Ccos 1 Dsin 1解析：选A如图所示，设M(，)为直线上除A(2,0)外的任意一点，连接OM，则有AOM为直角三角形，并且AOM，|OA|2，|OM|，所以有|OM|cos |OA|，即cos 2，显然当2，0时，也满足方程cos 2，所以所求直线的极坐标方程为cos 2.二、填空题5以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程为_解析：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A，在圆上任取一点P(，)，连接OP，PA，在RtOPA中，|OA|8，|OP|，AOP，|OA|cos ，即8cos ，即8cos 就是圆C的极坐标方程答案：8cos 6点M的极坐标是，它关于直线对称点的坐标是_解析：利用图形法，如图在极坐标中画出点M，它关于直线的对称点为M.答案：或7(北京高考)在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_解析：由题意知，点的直角坐标是(，1)，直线sin 2的直角坐标方程是y2，所以所求的点到直线的距离为1.答案：18(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆4sin