高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案:第一章 §2 2.3 直线和圆的极坐标方程
11页1、23直线和圆的极坐标方程对应学生用书P91曲线的极坐标方程(1)意义:在极坐标系中,如果曲线C上的点与一个二元方程(,)0建立了如下的关系:曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(,)满足方程(,)0;极坐标满足方程(,)0的点都在曲线C上那么方程(,)0叫作曲线C的极坐标方程,曲线C叫作极坐标方程(,)0的曲线(2)求极坐标方程的步骤:求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:建立适当的极坐标系;在曲线上任取一点M(,);根据曲线上的点所满足的条件写出等式;用极坐标,表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;证明所得的方程是曲线的极坐标方程通常第步不必写出,只要对特殊点的坐标加以检验即可2常见直线和圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点,倾斜角为的直线(1)(R)或(R)(2)(0)和(0)过点(a,0),与极轴垂直的直线cos a过点(a,),与极轴平行的直线sin_a(0)圆心在极点,半径为r的圆r(02)圆心为C(r,0),半径为r的圆2rcos_圆心为C(r,),半径为r的圆2rsin_(0)1曲线的极坐标方程与直角坐标方程有何异同?提示:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲
2、线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处一条曲线上点的极坐标有多组表示形式,这里要求至少有一组满足极坐标方程有些表示形式可能不满足方程例如,对极坐标方程,点M可以表示为或等多种形式,其中只有的形式满足方程,而其他表示形式都不满足方程2在极坐标系中,与tan 1表示同一条直线吗?提示:表示同一条直线3在极坐标系中,1或1表示同一个圆吗?提示:表示同一个圆对应学生用书P9射线或直线的极坐标方程例1求:(1)过点A平行于极轴的直线的极坐标方程(2)过点A且和极轴成角的直线的极坐标方程思路点拨本例主要考查直线的极坐标方程以及正弦定理等三角、平面几何知识,同时亦考查了数形结合思想,解答此题需要先设待求直线上任一点M(,),寻找到,满足的几何等式,建立关于,的方程,再化简即可精解详析(1)法一:如图在直线l上任取一点M(,),在OAM中|OA|2,|OM|,OAM,OMA(或)在OAM中,由正弦定理得,sin .点A也满足上述方程因此过点A平行于极轴的直线的极坐标方程为sin .法二:如图,在直线l上任取一点M(,),过M作MH极轴于H点A点坐标为,|MH|2sin.在直角三角形MHO中,|MH|
3、OM|sin ,即sin ,点A也满足此方程过点A平行于极轴的直线的极坐标方程为sin .(2)如图,设M(,)为直线l上一点已知A,故|OA|3.AOB,又已知MBx,OAB.又OMA,在MOA中,根据正弦定理得,又sinsinsin,将sin展开化简代入可得(sin cos ),又点A也满足上述方程,所以过点A且和极轴成角的直线的极坐标方程为:(sin cos ).在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般思路:在直线上设M(,)为任意一点,连接OM;构造出含OM的三角形,再利用正弦定理求OM,即把OM用表示,即为直线的极坐标方程若将本例(2)中点A变为(2,0),变为,则直线的极坐标方程如何?解:设M(,)为直线上除A点以外的任意一点,连接OM,则在AOM中,AOM,AMO,OAM,OM,由正弦定理可得.sincos cossin 1.化简得:cos sin 2.经检验点(2,0)的坐标适合上述方程,所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )2,其中,0(0)和2(0).圆的极坐标方程例2求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程,并判断点是否在这个圆上思路点拨本题考查圆的极坐
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