高中数学苏教版必修5学案：2.3.3　等比数列的前n项和（二）

2.3.3等比数列的前n项和(二)学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题.知识点一等比数列的前n项和的变式1.等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn；当q1时，Snna1.2.当公比q1时，等比数列的前n项和公式是Sn，它可以变形为Snqn，设A，上式可写成SnAqnA.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q1时，因为a10，所以Snna1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).思考在数列an中，an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k，则实数k_.答案解析由题意知an是等比数列，3n的系数与常数项互为相反数，而3n的系数为，k.知识点二等比数列前n项和的性质1.连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)仍构成等比数列.(注意：q1或m为奇数)2.SmnSmqmSn(q为数列an的公比).3.若an是项数为偶数、公比为q的等比数列，则q.思考在等比数列an中，若a1a220，a3a440，则S6_.答案140解析S220，S4S240，S6S480，S6S480S24080140.题型一等比数列前n项和性质的应用例1(1)等比数列an中，S27，S691，则S4_.(2)等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，则公比q_.答案(1)28(2)2解析(1)数列an是等比数列，S2，S4S2，S6S4也是等比数列，即7，S47,91S4也是等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421.又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)0，S428.(2)由题S奇S偶240，S奇S偶80，S奇80，S偶160，q2.反思与感悟解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，常常可以避繁就简.不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论.解题中把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地.跟踪训练1(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.答案解析方法一因为数列an是等比数列，所以S6S3q3S3，S9S6q6S3S3q3S3q6S3，于是3，即1q33，所以q32.于是.方法二由3，得S63S3.因为数列an是等比数列，且由题意知q1，所以S3，S6S3，S9S6也成等比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，解得S97S3，所以.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该数列的通项公式.解设数列an的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知S奇S偶4S偶，即S奇3S偶.数列an的项数为偶数，q.又a1a1qa1q264，aq364，即a112.故所求通项公式为an12n1.题型二等比数列前n项和的实际应用例2小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.解方法一设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：A25000(10.008)2x50001.0082x，A4A2(10.008)2x50001.00841.0082xx，A1250001.00812(1.008101.00881.00821)x0，解得x880.8.故小华每期付款金额约为880.8元.方法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：A2x；A4A2(10.008)2xx(11.0082)；A6A4(10.008)2xx(11.00821.0084)；A12x(11.00821.00841.00861.00881.00810).年底付清欠款，A1250001.00812，即50001.00812x(11.00821.00841.00810)，x880.8.故小华每期付款金额约为880.8元.反思与感悟分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同.解决这类问题有两种处理方法：一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解.跟踪训练2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式.解第1年投入800万元，第2年投入800万元，第n年投入800n1万元，所以总投入an800800800n14000(万元).同理，第1年收入400万元，第2年收入400万元，第n年收入400n1万元.所以总收入bn400400400n11600.综上，an4000，bn1600.题型三新情境问题例3定义：若数列An满足An1A，则称数列An为“平方数列”.已知数列an中，a12，点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上，其中n为正整数.(1)证明：数列2an1是“平方数列”，且数列lg(2an1)为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n项之积为Tn，则Tn(2a11)(2a21)(2an1)，求数列an的通项及Tn关于n的表达式；(3)对于(2)中的Tn，记bn，求数列bn的前n项和Sn，并求使Sn4024的n的最小值.(1)证明由条件得an12a2an，2an114a4an1(2an1)2.数列2an1是“平方数列”.lg(2an11)lg(2an1)22lg(2an1)，且lg(2a11)lg 50，2，lg(2an1)是首项为lg 5，公比为2的等比数列.(2)解lg(2a11)lg5，lg(2an1)2n1lg5.2an1，an(1).lgTnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg5，Tn.(3)bn2n1，Sn2n2n2n22n.由Sn4024，得2n22n4024，即nn2013.当n2012时，nn2013；当n2013时，nn2013.n的最小值为2013.反思与感悟数列创新题的特点及解题关键特点：叙述复杂，关系条件较多，难度较大.解题关键：读清条件要求，理清关系，逐个分析.跟踪训练3把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2)；如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了_个正方形；(2)第n个图形共挖掉了_个正方形，这些正方形的面积和是_.答案(1)73(2)1n解析(1)89173.(2)设第n个图形共挖掉an个正方形，则a11，a2a18，a3a282，anan18n1(n2)，所以an18828n1(n2).当n1时，a11也满足上式，所以an.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为12848268n12n1n.1.等比数列an中，a1a2a31，a44，则a2a4a6a2n_.答案解析由a1a2a31得a1，a21，又a44，4.数列a2，a4，a6，a2n是首项为1，公比为4的等比数列.a2a4a6a2n.2.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n_(nN*).答案6解析设每天植树棵数为an，则an是等比数列，an2n(nN*，n为天数).由题意得222232n100，2n150，2n51，n6.需要的最少天数n6.3.等比数列an的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是_.答案28解析易知Sm4，S2mSm8，S3mS2m16，S3m121628.4.已知数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列.求证：2S3，S6，S12S6成等比数列.证明设等比数列an的公比为q，由题意得2a7a1a4，即2a1q6a1a1q3，2q6q310.令q3t，则2t2t10，t或t1，即q3或q31.当q31时，2S36a1，S66a1，S12S66a1，S2S3(S12S6)，2S3，S6，S12S6成等比数列.当q3时，2S32，S6，S12S6，S2S3(S12S6)，2S3，S6，S12S6成等比数列.综上可知，2S3，S6，S12S6成等比数列.等比数列中用到的数学思想(1)分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q1时为常数列.(2)函数的思想：等比数列的通项ana1qn1qn(q>0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn(qn1)(q1).设A，则SnA(qn1)也与指数函数相联系.(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解.