高中数学苏教版必修5学案:2.3.3 等比数列的前n项和(二)
9页1、2.3.3等比数列的前n项和(二)学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题.知识点一等比数列的前n项和的变式1.等比数列an的前n项和为Sn,当公比q1时,Sn;当q1时,Snna1.2.当公比q1时,等比数列的前n项和公式是Sn,它可以变形为Snqn,设A,上式可写成SnAqnA.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q1时,因为a10,所以Snna1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).思考在数列an中,an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k,则实数k_.答案解析由题意知an是等比数列,3n的系数与常数项互为相反数,而3n的系数为,k.知识点二等比数列前n项和的性质1.连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)仍构成等比数列.(注意:q1或m为奇数)2.SmnSmqmSn(q为数列an的公比).3.若an是项数为偶数、公比为q的等比数列,则q.思考在等比数列an中,若a1a220,a3a440,则S6_.
2、答案140解析S220,S4S240,S6S480,S6S480S24080140.题型一等比数列前n项和性质的应用例1(1)等比数列an中,S27,S691,则S4_.(2)等比数列an共有2n项,其和为240,且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80,则公比q_.答案(1)28(2)2解析(1)数列an是等比数列,S2,S4S2,S6S4也是等比数列,即7,S47,91S4也是等比数列,(S47)27(91S4),解得S428或S421.又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)0,S428.(2)由题S奇S偶240,S奇S偶80,S奇80,S偶160,q2.反思与感悟解决有关等比数列前n项和的问题时,若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质,常常可以避繁就简.不仅可以减少解题步骤,而且可以使运算简便,同时还可以避免对公比q的讨论.解题中把握好等比数列前n项和性质的使用条件,并结合题设条件寻找使用性质的切入点,方可使“英雄”有用武之地.跟踪训练1(1)设等比数列an的前n项和为Sn,若3,则_.答案解析方法一因为数列an是等比数列,所以S
3、6S3q3S3,S9S6q6S3S3q3S3q6S3,于是3,即1q33,所以q32.于是.方法二由3,得S63S3.因为数列an是等比数列,且由题意知q1,所以S3,S6S3,S9S6也成等比数列,所以(S6S3)2S3(S9S6),解得S97S3,所以.(2)一个项数为偶数的等比数列,各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求该数列的通项公式.解设数列an的首项为a1,公比为q,全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶,由题意知S奇S偶4S偶,即S奇3S偶.数列an的项数为偶数,q.又a1a1qa1q264,aq364,即a112.故所求通项公式为an12n1.题型二等比数列前n项和的实际应用例2小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少.解方法一设小华每期付款x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,则:A25000(10.008)2x50001.0082x
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