北京市石景山区2020届高三上学期期末考试 数学试题 含答案

石景山区2020届高三第一学期期末数 学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合，所以.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先对复数进行化简，然后得到其共轭复数，再找到其再复平面对应的点，得到答案.【详解】，所以在复平面对应的点为，在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在上的单调性，得到答案.【详解】选项A中，是奇函数，但在上单调递增，不满足要求；选项B中，是偶函数，不满足要求，选项C中，是奇函数，在上单调递减，满足要求；选项D中，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.已知向量，若，则实数 ( )A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标的线性运算得到，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为向量，所以，因为，所以所以解得.故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.5.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】【详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.考点：用样本的数据特征估计总体.【此处有视频，请去附件查看】6.已知，则，的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别对，与特殊值或进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到答案.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查判断对数的大小关系，属于简单题.7.艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.【详解】从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，不变的数字特征数中位数.故选：A.【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念，属于简单题.8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原出几何体，得到是在正方体中，截去四面体，利用体积公式，求出其体积，然后得到答案.【详解】根据三视图还原出几何体，如图所述，得到是在正方体中，截去四面体设正方体的棱长为，则，故剩余几何体的体积为，所以截去部分的体积与剩余部分的体积的比值为.故选：C.【点睛】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答，属于简单题.9.在等差数列中，设，则是的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分非必要条件【答案】D【解析】【分析】举出特殊数列的例子，即可排除选项【详解】若等差数列为 则当时，成立，但不成立，所以非充分条件当时，成立，但不成立，所以非必要条件综上可知，是的既非充分非必要条件所以选D.【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应用，属于基础题10.关于曲线给出下列三个结论： 曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数点） 曲线上任意一点到原点的距离都不大于 曲线上任意一点到原点的距离都不小于2其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】将曲线，看成关于的方程，利用方程有解，得到的范围，再分别研究对应的整数和的情况；根据基本不等式，得到的范围，从而判断出曲线上一点到原点的距离范围.【详解】曲线，看成关于的二次方程则，得所以整数的取值为，当时，或，满足题意当时，不是整数，不满足题意当时，或，满足题意当时，不是整数，不满足题意当时，或，满足题意故曲线过的整点为，共6个，故命题正确.，当时，即，得，即当且仅当或时，等号成立所以得曲线上任意一点到原点的距离都不大于，命题正确.当时，即，得，即，当且仅当或时，等号成立所以得曲线上任意一点到原点的距离都不小于，故命题错误；故选：C【点睛】本题考查判断二次方程根的情况，基本不等式求最值，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11.在的二项展开式中，常数项等于 (用数值表示)【答案】-160【解析】试题分析：，由得：r=3，所考点：二项式定理点评：熟记二项展开式的通项公式：此通项公式集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化12.双曲线的焦点到它的渐近线的距离为_；【答案】1【解析】试题分析：由双曲线方程可知，则，即，所以焦点为，渐近线为所以焦点到渐近线的距离为考点：1双曲线的基本性质；2点到线的距离13.已知数列为等比数列，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，得到，从而得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为数列为等比数列，所以，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据等比中项求值，属于简单题.14.已知平面给出下列三个论断：；以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_【答案】或【解析】【分析】根据面面平行和面面垂直的性质，得到线面垂直，从而得到答案.【详解】由，可得故，由，可得故，由，则平面与平面可以平行和可以相交，故.故答案为：或【点睛】本题考查面面平行和面面垂直的性质及判定，面面关系有关的命题，属于简单题.15.在的内角，的对边分别为，已知，则的值为_.【答案】【解析】试题分析：代入得，由余弦定理得考点：1正弦定理；2余弦定理的推论【此处有视频，请去附件查看】16.已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题: 线段的中点的广义坐标为 向量平行于向量的充要条件是 向量垂直于向量的充要条件是其中，真命题是_.（请写出所有真命题的序号）【答案】【解析】分析】根据定义，分别写出中点的广义坐标，根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标表示进行判断，得到答案.【详解】点、的广义坐标分别为、可得，设为中点，则所以线段的中点的广义坐标为，故命题正确向量平行于向量，则即，所以，故命题正确，向量垂直于向量，则即，故命题不一定正确.故答案为：.【点睛】本题考查向量的新定义运算，向量平行和垂直的表示，向量的数量积的运算，考查理解推理能力，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17.已知函数.（）若，且，求的值；（）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间.【答案】（）（）最小正周期. .【解析】【分析】（）根据以及的范围，得到，代入到中，得到答案；（）对进行整理化简，得到，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】解：（）因为，且，所以 .所以 . （） 所以函数的最小正周期. 由， 解得. 所以函数的单调递减区间.【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于简单题.18.一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得12分)（）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象【答案】（）分布列见解析 （）（）见解析【解析】【分析】（）先得到可能的取值为，根据每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为，得到每种取值的概率，得到分布列；（）计算出每盘游戏没有获得15分的概率，从而得到两盘中至少有一盘获得15分的概率；（）设每盘游戏得分为，得到的分布列和数学期望，从而得到结论.【详解】解：（）可能的取值为，. 每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.， ， 所以X的分布列为：0123（）设每盘游戏没有得到15分为事件，则.设“两盘游戏中至少有一次获得15分”为事件，则因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为.（）设每盘游戏得分为.由（）知，的分布列为：Y-1215120P的数学期望为. 这表明，获得分数的期望为负因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望，求互斥事件的概率，属于中档题.19.已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点（）求证：PO平面；（）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；（）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由【答案】（）证明见解析 （）（）不存在，见解析【解析】【分析】（）正三角形中，由平面得到，所以得到面；（）以点为原点建立空间直角坐标系，根据平面的法向量，和平面的法向量，从而得到平面与平面所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（）线段上存在满足题意