Lorenz混沌系统自适应同步控制—数学
2015年度本科生毕业论文（设计）Lorenz混沌系统的自适应同步控制院 系: 数学学院 数学与应用数学系 Finished by June, 2015毕业论文（设计）原创性声明 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主席（组长）摘要 本文考虑Lorenz混沌系统的自适应同步问题。通过设计一个适当的自适应控制器，利用Lyapunov函数的稳定性理论并通过严格的数学证明得到自适应同步的充分条件。最后应用数值仿真，表明所设计的混沌控制器的可行性。关键词: Lorenz混沌系统；Lyapunov函数；自适应同步ABSTRACTThis paper deals with adaptive synchronization of Lorenz chaotic systems. By designing an appropriate adaptive controller and using the Lyapunov stability theorem, sufficient conditions for the adaptive synchronization are derived through rigorous mathematical proof. Finally, numerical simulations are offered to show the feasibility of the obtained results.Keywords: Lorenz chaotic system; Lyapunov function; Adaptive control目录 符号和注记第一章 引言1 1.1 混沌系统的研究现状 1.1.1 国外混沌学的发展 1.1.2 国内混沌学的发展1.2 混沌的特性4 1.2.1 混沌的产生81.2.2 混沌的定义101.3 混沌同步的概念4 1.3.1 同步的存在81.3.2 混沌同步的概念10 1.3.3 混沌同步的方法 1.4 混沌同步的应用 1.5 混沌同步控制 1.6 随机因素对混沌同步的影响 1.7 鲁棒性介绍第二章 准备工作第三章 主要结果4第四章 举例14第五章 总结与展望20参考文献21致谢符 号 和 注 记 实数域；非负实数域；矩阵的转置；单位矩阵；矩阵的最大特征值；向量的范数，；向量的范数，；函数对的导数。第一章 引言1.1 混沌系统的研究现状所谓混沌是指确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，是非线性科学的重要成果之一。广泛存在于自然界，诸如物理、化学、生物学、社会科学等科学领域。数理混沌理论认为，非线性是混沌系统之所以不稳定或出现混沌现象的根本原因。所以我们把一个存在难以预料因果关系的非线性系统就称为混沌系统。1.1.1 国外混沌学的发展混沌同步的理论研究始于上个世纪80年代中期，理论和实验研究则从上个世纪90年代初开始，进而出现混沌同步的研究热潮，是近年来非线性科学领域中一个热点问题。1903 年, 美国数学家Poincare J . H.在科学与方法中提出了Poincare 猜想。该猜想将动力学系统与拓扑学两大领域结合, 指出混沌存在的可能性。1963 年,美国气象学家LorenzE1,2,3用一台原始的计算机研究气候的变化时 发现确定性方程中出现混沌现象，并在大气科学上发表了“决定性非周流”一文, 清楚地描述了“对初始条件的敏感性”这一混沌的基本性态,即著名的“蝴蝶效应”，并以无限平板间流体对流运动简化模型为基础提出了Lorenz方程2。1970 年美国科学史家Kuhn T. S. 的科学革命的结构一书, 对混沌理论的发展起到推波助澜的作用。特别是1975 年, 马里兰大学的中国学者李天岩和美国数学家Yorke J . 在美国数学上发表了“周期三意味着混沌”一文, 深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。随之, 1976 年美国生物学家May R. 在自然杂志上发表了“具有极复杂的动力学的简单数学模型”一文, 它向人们表明了混沌理论的惊人信息, 简单的确定的数学模型竟然也可以产生看似随机的行为。1977年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌学的诞生4。1978 年美国物理学家Feigenbaum M. J . 在统计物理杂志上发表“一类线性变换的定量普适性” , 轰动世界。他的普适性的研究使混沌确定了其固定的地位。1980 年，美国数学家Mandelbrot B. 用计算机绘出第一张Mandeibrot 集图像。这是一张五彩缤纷、绚丽无比的混沌图像，后来德国的Richter P. 和Peitgen H. 共同研究分形流域的边界，做出了精美绝伦的混沌图像，使之成为精致的艺术品。这拓展了又一重要的应用领域, 从此Mandelbrot 集成了混沌的一种公认标志。虽然20 世纪60 年代人们就开始注意混沌现象，但直到1978 年Feigenbaum从计算机实验中发现一些简单的单变量非线性映象的分岔点结构具有若干普遍规律,出现一些普适常数以后，混沌才引起了大家的极大兴趣。1990 年,佩考拉（L. M. Pecora）和卡罗尔（J. L. Carroll）为了阐明在实验中观察到的混沌同步现象,利用混沌动力学的特殊属性，构成优良的混沌扩频序列，对响应系统的稳定性以及同步原理进行了分析,导出了混沌同步的驱动响应同步原理（即p-c同步5原理）。从而拉开了混沌同步方法研究的序幕。1992 年Oppenheim 等报道了有关混沌开关和混沌加密调制的实际应用,特别地在文中阐明了怎样把混沌同步的概念应用于信息加密。同时指出混沌同步在一定的条件下具有较强的鲁棒性5。1999年，陈观荣7在混沌系统反控制中发现了一个与Lorenz系统并不拓扑等价的新混沌吸引子Chen系统；2002年吕金虎和Chen8又通过混沌反控制思想发现了系统。2004年,刘崇等又提出一种新的三维自治混沌系统，这个系统亦属于Lorenz系统。1.1.2 国内混沌学的发展1986年中国第一界混沌会议在桂林召开,中国科学家徐京华在全世界第一个提出三种神经细胞的复合网络,并证明它存在混沌,指出人脑可看成是复杂的多层次混沌动力系统,脑功能的物理基础是混沌性质的过程。2006年王杰等在Lorenz系统、Chen系统和Lu系统的基础上提出了一个新的系统，并证明了该系统的混沌特性。1.2 混沌的特性1.2.1 混沌的产生所谓混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象。飘动的旗帜、奔腾的小溪、飘浮的云彩、闪电的路径、血管的微观网络、飞机的起飞降落、船舶在激流险滩中穿行、石油在管道中的流动、大气和海洋的异常变化、宇宙中的星团乃至经济的波动和人口的增长等等。这些看似杂乱无章的表面现象下却有着它惊人的运动规律，如上升的烟雾会突然卷起漩涡；风朝一个一个方向吹动，旗帜却有规律地两边摆动；山涧激流而下，在其下的石缝里突然形成转动的漩涡，而且渐渐增大，旋转着顺流而下；奔流不息的小溪中大漩涡里有小漩涡，使之加速；而小漩涡里由有小漩涡，以至沾滞等等。可以说，混沌表示某种混乱的，不清楚的或不规则的现象，表现了系统内部的复杂性，随机性和无序性。而混沌运动是指在确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动，是在确定性系统中出现的无规则性或随机性（是系统内在的随机性，也称之为伪随机性），所谓高度不稳定是指相邻的轨道随时间的发展会产生指数分离。混沌运动在相空间的轨迹具有复杂的拉伸、折叠和收缩的结构，但每一根轨迹不自我重复又不自我交替，且局限于有限集合，把此称之为奇怪吸引因子。然而产生混沌的机制往往又是简单的非线性，是丝毫不带随机因素的固定规则。由混沌所表示的无序和不规则状态指出了在确定性系统中的随机现象，由事物的混沌现象又揭示了在自然界和人类社会中普遍存在着确定性和随机性的统一、有序和无序的统一，正是这种确定性和随机性之间的由此及彼的桥梁作用，使得混沌学被誉称为20世纪科学家发展的第三个里程碑。著名物理学家 Ford.J曾说：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程牛顿式的梦；而混沌则彻底消除了拉普拉斯关于决定论式可测性的幻想”。 混沌是非线性动力学系统在一定条件下所表现的一种运动形式，是系统处于非平衡过程中所呈现的随机行为，因此非线性是产生混沌的必要条件，但并非任何非线性系统都会产生混沌，一般认为当系统具有下列数值特征时则发生了混沌：（1）系统的运动轨迹为奇怪吸引子现象；（2）系统运动的功率谱具有连续谱上叠加有尖峰的特点；（3）系统中至少有一个李雅普诺夫（Lyapunov）指数。从混沌的类型上，大体可以分为四大类：第一类为时间混沌，第二类为空间混沌，第三类为时空混沌，第四类为功能混沌。目前还注意集中在时间混沌的研究上，其他类型的混沌控制尚待展开。混沌是一种非常普遍的非线性现象，在大量的动力系统中都发现存在混沌行为，例如纯数学、时空理论、湍流、浅水波的强迫振动、非线性振荡电路、量子力学、光学、声学、等离子体物理、超导理论、位错理论、非线性振动、相变理论、微波理论、固体物理、统计物理、天文学、广义相对论、地磁场理论、化学、气象学、工程模型、协同学、生态学、群体动力学、生物学、医学、经济学、社会学生物工程、信息过程、信息保密通信 ，以及进行经济预测和工程管理等。1.2.2 混沌的定义 混沌一词首先是由美国数学家李天岩（Li T. Y.）和约克（J. A. Yorke）1975年“周期三意味着混沌”一文中提出的，文中给出了有关混沌的一种数学定义 现称为LiYorke定义： 设连续映射,是中的一个子区间。如果存在不可数集合满足：(1) S不包含周期点。(2) 任给， 有， 这里表示t重函数关系。 (3) 任给有 则称f在S上混沌的。 此定义中，由于前两个极限说明子集的点，相当分散而又相当集中；第三个极限说明子集不会趋近于任意周期点，所以这个定理本身只预言有非周期轨道存在，既不涉及这些非周期点的集合是否具有非零测度，也不涉及哪个周期是稳定的。因此Li-Yorke定义的缺陷在于集合S的勒贝格测度有可能为零，即这时混沌是不可观测的，而人们感兴趣的则是可观测的情行，即此时S有一个正的测度。根据Li-Yorke定义，1983年Day认为一个混沌系统应具有如下三种性质：第一，存在所有阶的周期轨道；第二，存在一个不可数集合，该集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道布趋向于任一周期轨道，即该集合不存在渐近周期轨道；第三，混沌轨道具有高度的不稳定性。1989年Devan
