湖北省重点中学2020届高三第二次联考数学试卷理科试题（解析版）

湖北省重点中学2020届高三第二次联考数学（理科）一、选择题1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】是函数的定义域，是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算【详解】由题意，故选B【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算2.复数z满足，则（）.A. B. C. D. 【答案】D【分析】根据复数的模与代数形式的运算性质求解即可【详解】解：，故选：D【点睛】本题主要考查复数的模以及复数代数形式的运算性质，属于基础题3.若实数，满足，则最大值是（ ）A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】B【分析】利用基本不等式求x+y的最大值得解.【详解】由题得(当且仅当x=y=-1时取等)所以，所以x+y-2.所以x+y的最大值为-2.故选B【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.非零向量满足且,的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】运用向量的平方即为模的平方，求得，由向量数量积的夹角公式，计算可得所求值【详解】由得， 又由得， 将代入式，整理得：，即又因为，即故选.【点睛】本题考查向量数列的定义和夹角的求法，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题5.中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A. B. C. D. 【答案】B【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度【详解】如图，由题意，在中，即，（米/秒）故选B【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件6.孙子算经中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则甲比乙获封等级高的概率为（）A. B. C. D. 【答案】A【分析】利用组合数求出基本事件总数以及事件“甲比乙获封等级高”包含的基本事件数，再用古典概型的的概率计算公式求解即可【详解】解：甲、乙两人进行封爵共有种，“甲比乙获封等级高”有种，所求概率为，故选：A【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题7.已知，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【分析】由可得，再根据指数函数的单调性即可求出答案【详解】解：，又，而函数在上单调递增，故选：A【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性求参数的范围，属于基础题8.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】A【分析】由可得，再用二倍角公式即可求出结论【详解】解：，即，故选：A【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换和二倍角的正切公式，属于基础题9.已知符号函数那么的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 ，则 ， ， ， ， ，可排除 ，又 ，可排除 ，故选D.10.已知为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】由题可得，设，由两点间距离公式结合可得解.【详解】为椭圆上的两个动点，为其左焦点.，则有.设，则.由，得.故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的应用及数量积的坐标运算，属于中档题.11.设数列的前项和为，且，则的最小值是（）A. B. 2C. D. 3【答案】A【分析】由题意得当时，得，从而求出，得，利用导数得数列是一个递增数列，从而可求出答案【详解】解：，当时，又，数列是以1为首项，2位公差的等差数列，令，则，数列是一个递增数列，当时，有最小值，故选：A【点睛】本题主要考查地推数列的性质，考查等差数列的证明，属于中档题12.如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4，E，F分别是棱AD、BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A. B. 4C. D. 6【答案】B【分析】将正四面体补成正方体，由此可得截面为平行四边形，且，且，利用基本不等式即可求出结论【详解】解：将正四面体补成正方体如图，可得平面，且正方形边长为，由于，故截面为平行四边形，且，又，且，当且仅当时取等号，故选：B【点睛】本题主要考查了面面平行的性质，考查了基本不等式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题二、填空题13.设为所在平面内一点，若，则_【答案】-3【分析】直接利用向量的线性运算求出结果【详解】为所在平面内一点, ，B，C，D三点共线.若 ，化为： =+，与=+，比较可得： ，解得.即答案为-3.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题14.若的展开式中项的系数为20，则_.【答案】1【分析】利用二项式的展开式的通项公式求解即可【详解】解：的展开式的通项公式为，令，得，故答案为：1【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数，属于基础题15.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线，与双曲线的右支交于点，且则双曲线的离心率为_【答案】【详解】记.则.设切点为.则在中，在中，由正弦定理得 故该双曲线的离心率为.16.为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：，且）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x的最小值是_.前8小时内销售量15161718192021频数10x16161513y【答案】25【分析】先根据条件求出分布列和期望，再根据“购进17份比购进18份的利润的期望值大”即可得出答案【详解】解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为657585的数学期望，若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为60708090的数学期望，购进17份比购进18份的利润的期望值大，且，解得，又，的最小值为25，故答案为：25【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题三、解答题17.已知数列的前项和为，且满足.（）求证：数列为等比数列；（）求数列的前项和.【答案】（）详见解析；（）.【分析】（）由可以得出，进而得出结论.（）由（）可推导出，再利用分组求和法就能求出数列的前项和.【详解】（），当时，两式相减，得，即，所以数列为等比数列（）由，得.由（）知，数列是以为首项，为公比的等比数列所以，.【点睛】本题考查了等比数列的证明，考查利用分组求和法求数列的前n项和的求法.18.如图，四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E为PC上一点，当F为DC的中点时，EF平行于平面PAD.（）求证：平面PCB；（）求二面角的余弦值.【答案】（）证明见解析；（）【分析】（）平面可得，从而证出平面，则，从而可证出平面；（）以点为坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，求出平面和平面的的一个法向量，再根据法向量求出二面角【详解】（）证：平面，又正方形中，平面，又平面，当为的中点时，平行平面，所以是的中点，平面；（）解：以点为坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得到，；又，且平面，平面的一个法向量为；设二面角的平面角为，由图可知角为锐角，则，二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查线面垂直的判定和性质，考查二面角的求法，属于中档题19.已知椭圆的离心率为.（）求椭圆的方程；（）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明直线过轴上的定点.【答案】（1）；（2）见解析.分析】（1）由离心率列方程可求得椭圆方程； （2）当直线AB的斜率不存在时，直线BD过点（2，0）当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=k（x-1），联立方程组，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD过x轴上的定点【详解】（1）解：由题意可得,解得，所以椭圆C的方程为 （2）直线BD恒过x轴上的定点N（2，0）证明如下（a）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不妨设A（1，），B（1，），D（3，）此时，直线BD的方程为：y=（x-2），所以直线BD过点（2，0）（b）当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB为y=k（x-1），D（3，y1）由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0所以x1+x2=，x1x2=（*）直线BD：y-y1=（x-3），只需证明直线BD过点（2，0）即可.令y=0，得x-3=，所以x=即证，即证.将（*）代入可得.所以直线BD过点（2，0）综上所述，直线BD恒过x轴上的定点（2，0）【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查由特殊到一般思想，是难题20.已知函数.（）求的极值；（）若，求证：