山西省2020年1月高三适应性调研考试数学（理科）试题（A卷）附答案

山西省2020年1月高三适应性调研考试数学（理科）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）祝考试顺利注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签宇笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.参考公式：锥体的休积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知复数满足，则（ ）A.B.C.D.3.由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（ ）A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势4.展开式中的系数为（ ）A.10B.24C.32D.565.已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为（ ）A.1B.2C.3D.46.函数在的图象大致为（ ）A. B. C. D. 7.如图，在四棱锥中，E是的中点，F在上且，G在上且，则（ ）A.，且与平行B.，且与相交C.，且与异面D.，且与平行8.已知等差数列的前n项和为，则数列的前2020项和为（ ）A.B.C.D.9.“角谷定理”的内容为：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1.如图为研究角谷定理的一个程序框图，若输入n的值为10，则输出i的值为（ ）A.5B.6C.7D.810.设抛物线的焦点为F，准线为.过抛物线上一点A作的垂线，垂足为B.设，与相交于点E.若，且的面积为，则p的值（ ）A.B.2C.D.11.现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A.B.C.D.12.设函数，其中，已知在上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则与的夹角为_.14.记为等比数列的前n项和，若数列也为等比数列，则_.15.某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g，次品重110g，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）.如果将5袋产品以15编号，第i袋取出i个产品（），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y，若次品所在的袋子编号是2，此时的重量_g；若次品所在的袋子的编号是n，此时的重量_g.16.已知点P是双曲线右支上一动点，是双曲线的左、右焦点，动点Q满足下列条件：，则点Q的轨迹方程为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）在中，角所对的边分别是，且.（1）求角B的大小；（2）设，求的值.18.（12分）为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X，求X的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？19.（12分）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点P是圆弧上的一动点（不与重合），点Q是圆弧的中点，且点在平面的两侧.（1）证明：平面平面；（2）设点P在平面上的射影为点O，点分别是和的重心，当三棱锥体积最大时，回答下列问题.（i）证明：平面；（ii）求平面与平面所成二面角的正弦值.20.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合），已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线l交椭圆C于两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与重合）.设的外心为G，求证为定值.21.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（s为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的图象最低点为，正数满足，求的取值范围.2020年1月山西省高三适应性调研考试数学（理科）答案一、选择题1.解析：由题意得，故选A.答案：A2.解析：，故选B.3.解析：设备制造商的经济产出在2029年将被信息服务商超过，故选C.答案：C4.解析：因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，故选D.答案：D5.解析：，所以，解得，所以，所以，故选B.答案：B6.解析：是奇函数，排除A；，排除B，C，故选D.答案：D7.解析：取的中点H，连接，则在三角形中，所以，且，又因为且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，且.在中，分别为和的中点，所以，且，所以，且，即，故选D.答案：D8.解析：因为数列是等差数列，所以.设公差为d，因为，所以，解方程组得所以数列的通项公式为，所以.设为数列前n项和，则.，故选A.答案：A9.解析：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），故选B.答案：B10.解析：根据已知，由，得，不妨设点在第一象限，则，即，所以，易知，所以，所以的面积是面积的3倍，即，所以，解得，故选C.答案：C11.解析：根据已知得三棱锥的外接球的半径，因为，所以为外接球直径，所以，且，.当点C到平面距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面，且点C到平面的距离，所以，故选B.答案：B12.解析：设，则，所以在上有4个零点，可知，所以，又，所以，即，满足的只有A，故选A.答案：A二、填空题13.解析：设与的夹角为，则，解得：，所以.答案：14.解析：设等比数列的公比为q，由数列为等比数列，则，计算得，故.答案：15.解析：第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，此时的重量，若次品是第袋，则15个产品中次品n个，正品个，此时的重量.答案：1520（未给出n的取值范围也给分）16.解析：设动点Q的坐标为，延长交于点A，由条件知点Q在的角平分线上，结合条件知，所以在中，.又平分，所以为等腰三角形，即，.因为点P为双曲线上的点，所以，即，所以.又在中，Q为的中点，O为的中点，所以，所以点Q的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，所以点Q的轨迹方程为.答案：.三、解答题17.解：（1）由正弦定理得，2分化简得.3分因为在三角形中，可得.5分因为，所以.6分（2）由余弦定理得，8分解得，10分由正弦定理得.12分18.解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，1分则，.2分，3分，4分.5分故X的分布列为X0123P0.0020.0440.3060.648.6分（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为，8分所以一尾乙种鱼苗的平均收益为元.9分设购买尾乙种鱼苗，为购买n尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则，解得11分.所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元.12分19.解：（1）证明：因为是轴截面，所以平面，所以，1分又点P是圆弧上的一动点（不与重合），且为直径，所以，2分又，平面，平面，所以平面，平面，故平面平面.4分（2）当三棱锥体积最大时，点P为圆弧的中点.所以点O为圆弧的中点，所以四边形为正方形，且平面.（i）证明：连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接，则，5分因为分别为三角形的重心，所以，所以，6分所以，又平面，平面，所以平面.7分（ii）平面，垂直，所以以O为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.则，设平面的法向量，则，即，可取，9分又平面的法向量，