【全国百强校】福建省2020届高三月考数学（文）试题附答案

双十中学2020届高三月考试卷数学（文科）用时：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.复数满足，则（ ）A. B. C. D.3.若，那么的值为（ ）A. B. C. D.4.某商场一年中各月的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法正确的是（ ）利润最高的月份是2月份；收入最高值与收入最低值的比是21；1至2月份的收入增长最快；第二季度月平均收入为50万元.A. B. C. D.5.已知，则的大小关系是（ ）A. B. C. D.6.已知双曲线的左焦点为，经过点且与圆相切的直线与的一条渐近线平行，则的离心率为（ ）A. B.2 C. D.7.若满足约束条件.则的最小值为（ ）A.2 B. C.8 D.18.执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A.4 B.9 C.16 D.259.已知正方体的边长为2，边的中点为，过且垂直的平面被正方体所截的截面面积为（ ）A. B. C. D.10.已知函数，则“函数的图象经过点”是“函数的图象经过点”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11.己知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，为的中点，若与不平行，则是（ ）A.等腰三角形且为钝角三角形 B.等腰三角形且为锐角三角C.等腰直角三角形 D.非等腰的直角三角形12.已知函数，存在三个不同实数满足，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，若_.14.若是偶函数，则_.15.已知是直角斜边上一点，若的面积是面积的两倍，则_.16.已知点在半径为2的球的球面上，且两两所成的角相等，则当三棱锥的体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知数列为等比数列，且.（1）求公比和的值；（2）若的前项和为，求证：成等差数列.18.（12分）如图，在四棱柱中，面，分别为中点，.（1）求的长度；（2）若线段与三点所确定的平面交于点，求的值.19.（12分）某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元.该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（2）若骑手甲、乙选择了日工资方案（1），丙、丁选择了日工资方案（2）.现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（1）的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由，（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20.（12分）已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为.（1）求椭圆的方程和焦点的坐标；（2）点在椭圆上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求点的横坐标.21.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线上一点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设点在上，点在上（异于极点），若四点依次在同一条直线上，且成等比数列，求的极坐标方程.23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图象与直线所围成的四边形面积大于20，求的取值范围.双十中学高三数学（文科）月考参考答案评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影晌的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.一选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.A 2. C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分20分.13. 14.1 15. 16.16.【解析】由题意知：三棱锥为正三棱锥，如图所示：为中点，平面，且为的重心设，则，令令，解得：且时，单调递增；时，单调递减三棱锥体积最大，此时平面截球所得的截面圆的面积.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（共12分）解：（1）方法1：由题设得，因为为等比数列，所以所以又因为，所以，所以经检验，此时成立，且为等比数列所以（2）因为，所以，因为，所以成等差数列18.（12分）本小题考查直线与平面垂直的性质及判定、多面体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想.考查直观想象、数学运算及等核心素养.解：（1）连接，因为平面，所以平面，因为面，所以.又因为，所以面，从而.因为，所以，所以.所以，因为，所以，解得，所以.（2）设，四棱柱的体积为，则，因为，所以，又因为面，所以，因为，所以面.因为，所以，所以.19.（共12分）解：（1）设事件为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05因为所以估计为0.4.（2）设事件为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（1）”从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，有6种情况，即甲，乙，甲，两，甲，丁，乙，丙，乙，丁，丙，丁其中至少有1名骑手选择方案（1）的情况为甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙），乙，丁所以（3）方法1：快餐店人均日快递量的平均数是因此，方案（1）日工资约为案2日工资约为故骑手应选择方案（1）方法2：设骑手每日完成快递业务量为件方案（1）的日工资，方案（2）的日工资当时，依题意，可以知道，所以这种情况不予考虑当时，令则即若骑手每日完成快递业务量在85件以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85件的频率是0.05，较低，故建议骑手应选择方案（1）方法3：设骑手每日完成快递业务量为单，方案（1）的日工资，方案（2）的日工资所以方案（1）日工资约为方案（2）日工资约为因为，所以建议骑手选择方案（1）.20.（共12分）解：（1）依题意，有，所以所以椭圆方程为，所以，焦点坐标分别为，（1）方法1：设，则，且，若点为右顶点，则点为上（或下）顶点，不是等边三角形，不合题意，所以.设线段中点为，所以，因为，所以因为直线的斜率，所以直线的斜率又直线的方程为，令，得到因为，所以因为为正三角形，所以，即化简，得到，解得（舍）即点的横坐标为.方法2：设，直线的方程为.当时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点，不是等边三角形，不合题意，所以.联立方程消元得所以，设线段中点为，所，所以因为，所以所以直线的方程为令，得到因为为正三角形，所以，所以化简，得到，解得（舍）所以，即点的坐标为.方法3：设，当直线的斜率为0时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点，不是等边三角形，不合题意，所以直线的斜率不为0.设直线的方程为联立方程消元得，所以设线段中点为所以，所以因为，所以，所以直线的方程令，得到因为为正三角形，所以，所以化简，得到，解得（舍）所以，即点的横坐标为21.（12分）本小题主要考查函数的单调性与最值、导数的应用等知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合等思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观形象、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性.满分12分.解：（1）因为.当时，所以在恒成立，故在单调递减.当时，由得.当时，；当时，.故在和单调递减，在单调递增，当时，由得.当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增.当时，由得或（不合，舍去）.当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增.（2）因为，所以.由（1）得.令，则，所以，设，所以，当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增.又，所以当时，；当时，又，所以需，解得，故的取值范围为.22.选修4-4：坐标系与参数方程22.【解析】试题分析：（1）先根据平方关系消元得曲线的直角坐标方程，再根据将直角坐标方程化为极坐标方程，最后代入点坐标解出，（2）先设直线的极坐标方程为，代入，得交点极径线关系，根据成等比数列得，代入化简可得.试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，化简得，又，所以.代入点得，解得或（舍去）.所以曲线的极坐标方程为.（2）由题意知，设直线的极坐标方程为，设点，则.联立得，所以，.联立得，.因为成等比数列，所以，即.所以，解得.经检验满足四点依次在同一条直线上，所以的极坐标方程为或.23.试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值定义化为分段函数形式，作图可得形状为梯形，根据梯形面积公式列不等式，解不等式可得的取值范围.试题解析：（1）当时，不等式为.若，则，解得或，结合得或.若，则，不等式恒成立，结合得.综上所述，不等式解集为.（2）则的图象与直线所围成的四边形为梯形，令，得，令，得，则梯形上底为，下底为11，高为.化简得，解得，结合，得的取值范围为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是