2020年人教版高考数学 复习重点--第3篇 第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

第4讲函数yAsin(x)的图象及应用最新考纲1了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.知 识 梳 理1“五点法”作函数yAsin(x)(A>0，>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象2函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的两种途径3函数yAsin(x)的物理意义当函数yAsin(x)(A>0，>0)，x0，)表示一个振动时，A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相辨 析 感 悟1对图象变换的认识(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样()(2)将ysin 2x的图象向右平移个单位，得到ysin的图象()(3)(2013湖北卷改编)将函数ycos xsin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是.()2对函数f(x)Asin(x)性质的认识(4)函数f(x)Asin(x)(A0)的最大值为A，最小值为A.()(5)函数f(x)Asin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期()(6)(2014广州二模改编)若函数ycos x(N*)的一个对称中心是，则的最小值为3.()感悟提升1图象变换两种途径的区别由ysin x的图象，利用图象变换作函数yAsin(x)(A0，0)(xR)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位，如(1)、(2)2两个防范一是平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；二是解决三角函数性质时，要化为yAsin(x)的形式，但最大值、最小值与A的符号有关，如(4)；而yAsin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期，如(5).学生用书第57页考点一函数yAsin(x)的图象画法与变换【例1】 (1)(2013广东六校教研协作体二联)已知f(x)sin(0)的图象与y1的图象的相邻两交点间的距离为，要得到yf(x)的图象，只需把ycos 2x的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位(2)已知函数y2sin.求它的振幅、周期、初相；用“五点法”作出它在一个周期内的图象；说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到(1)解析依题意T，T，2，f(x)sin(2x)，只需ycos 2xsin(2x)sin2(x) f(x)sin(2x)答案B(2)解y2sin的振幅A2，周期T，初相.令X2x，则y2sin2sin X.列表，并描点画出图象：xX02ysin X01010y2sin02020法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象；再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象法二将ysin x的图象上所有点的横坐标x缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y2sin的图象规律方法 函数yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法(1)五点法：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同【训练1】 (1)(2013合肥第一次质检)将函数f(x)Asin(x)(A0，0)的图象向左平移个单位，所得函数的图象与函数yf(x)的图象关于x轴对称，则的值不可能是()A2 B4 C6 D10(2)(2014合肥模拟)设函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.求和的值；在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象(1)解析依题意，fAsinAsin的图象与yf(x)的图象关于x轴对称，于是有AsinAsin(x)0；注意到4时，AsinAsin(4x)2Asin(4x)不恒等于0，故选B.答案B(2)解T，2，又fcos，sin ，又0，.由得f(x)cos，列表：2x0x0f(x)1010图象如图考点二由图象求函数yAsin(x)的解析式【例2】 函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_解析由图可知A，法一，所以T，故2，因此f(x)sin(2x)，又对应五点法作图中的第三个点，因此2，所以，故f(x)sin.法二以为第二个“零点”，为最小值点，列方程组解得故f(x)sin.答案f(x)sin规律方法 已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.学生用书第58页【训练2】 (2013四川卷)函数f(x)2sin(x)(>0，<<)的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2， B2，C4， D4，解析由图象知f(x)的周期T，又T，>0，2.由于f(x)2sin(x)(>0，<<)的一个最高点为，故有22k(kZ)，即2k，又<<，选A.答案A考点三函数yAsin(x)的性质应用【例3】 (2014济南模拟)已知函数f(x)Asin(x)(xR，A>0,0<<)的最大值为2，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)ff的单调递增区间解(1)由题意，得A2，2，当x时，2sin2，即sin1，所以k，解得k，又0，所以.故f(x)2sin.(2)g(x)2sin2sin2sin 2x2sin2sin 2x2sin 2xcos 2x2sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数g(x)的单调递增区间是，kZ.规律方法 函数yAsin(x)(A0，0)的性质(1)奇偶性：k时，函数yAsin(x)为奇函数；k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数(2)周期性：yAsin(x)存在周期性，其最小正周期为T.(3)单调性：根据ysin t和tx(0)的单调性来研究，由2kx2k(kZ)得单调增区间；由2kx2k(kZ)得单调减区间(4)对称性：利用ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令xk(kZ)，求得x、.利用ysin x的对称轴为xk(kZ)求解，令xk(kZ)得其对称轴【训练3】 已知函数f(x)sin(x)cos(x)(0，0)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值；(2)求函数yf(x)f的最大值及对应的x的值解(1)f(x)sin(x)cos(x)22sin.因为f(x)为偶函数，则k(kZ)，所以k(kZ)，又因为0，所以，所以f(x)2sin2cos x.由题意得2，所以2.故f(x)2cos 2x.因此f2cos .(2)y2cos 2x2cos 22cos 2x2cos2cos 2x2sin 2x2sin.令2x2k(kZ)，y有最大值2，所以当xk(kZ)时，y有最大值2. 1在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少2由图象确定函数解析式：由函数yAsin(x)的图象确定A，的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置要善于抓住特殊量和特殊点3对称问题：函数yAsin(x)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的