向量的内积教学设计

第七章平面向量7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解【教学方法】 本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念【教学过程】环节 教学内容 师生互动 设计意图导入一个物体在力 F 的作用下产生了位移 s，那么力 F 所做的功应当怎样计算？力做的功为WsFcos ，其中 是 F 与 s 的夹角Fcos 是 F 在物体前进方向上分量的大小sF cos 称为位移 s 与力向量 F 的内积教师提出问题并简单讲解什么是功，让学生对功有个基本了解师生共同计算这个力所做的功我们知道，功只有大小，没有方向，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？引出课题此引例体现了数学知识与其他学科的联系，让学生了解所学内容在实际生活中的具体应用新课1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a 与 b，作 a，OAb，则 AOB 叫向量 a 与 b 的夹OB角记作a，b，规定 0a，b180说明：(1)当a，b 0时，a 与 b 同向；(2)当a，b 180时，a 与 b 反向；(3)当a，b 90时，a 与 b 垂直，学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：（1）当a， b0和180º 时 a 与 b 的方向是怎样的？（2）当a，b90时，a 与 b 的方向又是怎样的？师生共同总结，师重点强调说明（4）此问题是为本课重点向量的内积概念而准备通过问题的详细探究给出概念，比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受sF数学基础模块下册新课记做 ab；(4)在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的2向量的内积已知非零向量 a 与 b，a，b为两向量的夹角，则数量| a | | b | cosa，b 叫做a 与 b 的内积记作a·b| a | | b | cosa， b规定：0 向量与任何向量的内积为0说明：（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由 cosa，b 的符号所决定；（2）两个向量的内积，写成a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.例 1 求 |a| 5，|b|4，a，b120 求 a·b解 由已知条件得a·b| a | | b | cosa， b5×4×cos 120 103向量的内积的性质设 a，b 为两个非零向量，e 是单位向量，则：（1）a·ee· a acos a，e；（2）ab a·b0；（3）a·a| a |2 或 | a | ；a·a（4）a·bab4向量的内积的运算律(1)交换律：a·b b·a；教师直接给出向量内积的基本表达式教师引导学生学习向量内积的概念学生阅读课本中向量内积的概念，在理解的基础上记忆向量内积的概念教师总结向量内积的含义，以及公式中的注意事项学生讨论求解学生阅读课本中向量内积的性质，在理解的基础上记忆向量内积的性质教师对于每一个性质都要引领学生从向量内积的表达式入手，仔细推导教师引导学生学习向量内积的运算律让学生明确内积在本节中首次引入了抽象的向量内积，学生往往只接受具体的基本表达式，而不能接受 a·b 的含义，所以应让学生从符号的含义开始认识，这部分教师必须讲解清楚求内积题目不必过难，重点在理解内积的概念两向量的内积是两向量乘法的一种，是学生以前所未接触过的，与以前数量间的乘法、实数与向量间的乘法有很大区别，因此运算法则、运算律都要重新推导，学生对于概念和运算法则的理解和掌握有些第七章平面向量新课(2)结合律：( a)·b (a·b)a·( b)；(3)分配律：(a b)·ca·cb·c例 2 求证：（1）(ab)·(ab)a 2b 2；（2）ab 2ab 22(a 2b 2) 证明 （1）显然(ab)·(ab)a·aa· bb· ab·ba 2b 2；（2）因为ab 2(ab)·(ab)a 22 a·bb 2，ab 2(ab)·(ab)a 22 a·bb 2，所以ab 2ab 22(a 2b 2)练习1已知 | a |，| b |，a，b，求 a·b：(1) | a |7，| b |12，a，b120°；(2) | a |8，| b |4，a，b；2已知 | a |，| b |，a·b，求 a，b：(1) | a | b |16，a·b8；(2) | a | b |12，a·b6 3满足交换律和分配律，不满足结合律比如，实数乘法满足结合律：(a·b)·ca·(b·c )，而向量的内积不满足；又如实数乘法满足：a·cb·c ab，而向量的内积不满足这种推出关系学生分组讨论证明的方法；小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结解答方法教师给出具体的证明步骤师生合作共同完成困难它与实数乘法的概念，性质及运算律有联系也有区别，这一区别是教学的重点也是学生学习的难点通过例 2 可让学生加深对结合律与运算律的理解通过学生讨论，老师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点 学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容有利于教师检验学生的掌握情况 数学基础模块下册小结本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型主要有：（1）直接计算内积； （2）由内积求向量的模；（3）运用内积的性质判定两向量是否垂直；（4）性质和运算律的简单应用学生阅读课本，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结作业教材 P54 练习 A 组第 2 题（1）（3），第 3 题（1）（2）；(选做)练习 B 组第 1 题 巩固拓展