2019年高考数学（选修2-2） 第二章推理与证明 本章提升测评

第二章本章提升测评1 选择题1（2016北京，8，）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 ( )A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多2（2014北京8，）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”，若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 ( ) A2人 B.3人 C4人 D5人3（2014山东，4，）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程+a+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是 ( ) A方程+a+b=0没有实根 B方程+a+b=0至多有一个实根 C方程+a+b=0至多有两个实根 D方程+a+b=0恰好有两个实根二填空题4（2016课标，16，）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.5（2015福建，15，）一个二元码是由0和1组成的数字串n（nN*），其中k(k=1，2，n)称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码.的码元满足如下校验方程组：，其中运算定义为00=0，01=1，10=1，11=0现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k=_6（2014课标全国I14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_三.解答题7（2016浙江，20,15分，）设数列an满足an- 1,nN* (1)证明：an 2（la l-2），nN*； (2)若lanI，nN*，证明：IanI2，nN*8（2015江苏，23，10分，）已知集合=1，2，3，Yn=1，2，3，n(nN*)，设sn=(a，b)la整除b或b整除a，a X，nYn令f(n)表示集合sn所含元素的个数 (1)写出f(6)的值； (2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明 第二章 本章提升测评一、选择题1B 解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放人甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放人甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中的红球多于丙盒中的红球，C错误故选B解法二：设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球，依题意知，甲盒中有(n-k)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有（k-s）个，丙盒中共有（n-k）个球，其中红球有（n-k-s）个，黑球有（n-k）-（n-k-s）=s个所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，故选B2B 设学生人数为n因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况，所以当n4时，语文成绩至少有两人相同，若此两人数学成绩也相同，这与“任意两人成绩不全相同”矛盾；若这两人数学成绩不同，则两人有一人比另一人成绩好，也不满足条件因此，n<4，即n3当n=3时，评定结果分别为“优秀，不合格”“合格，合格”“不合格，优秀”，符合题意，所以n=3，故选B3A 因为“方程 +a+b=0至少有一个实根”等价于“方程 +a+b=0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x+a+b=0没有实根”二、填空题4答案1和3解析 丙的卡片上的数字之和不是5，则丙有两种情况：丙的卡片上的数字为1和2，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和3，满足题意：丙的卡片上的数字为1和3此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和2，这时甲与乙的卡片上有相同的数字2与已知矛盾，故情况不符合，所以甲的卡片上的数字为1和35答案 5解析 设a，b，c，d0，1，在规定运算法则下满足：abcd=O，可分为下列三类情形：4个1：1111=0，2个1:1100=0，(3)0个1：0000=0，因此，错码1101101通过校验方程组可得：由xxxx=0，得1110;由xxxx=0，得101=0；由xxxx=o，得10110，错码可能出现在x，x上，若x=0，则检验方程组都成立，故k=5若x=0，此时xxxx0，故k7综上分析x为错码，故k=56答案A解析 由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，因此三人去过的同一城市为A，而甲去过的城市比乙多，但没去过B城市，所以甲去过的城市为A，C，乙去过的城市为A三、解答题7证明 (1)由得-1，故，nN*，所以 因此 (2)任取nN*，由(1)知，对于任意m>n， 故从而对于任意m>n，均有.由m的任意性得2.若存在nN*，有>2，取正整数m>且m0 >n0，则.与式矛盾综上，对于任意nN*，均有28解析 (1)f(6)=13 (2)当n6时， 下面用数学归纳法证明：当n=6时f(6)= 6+2+=13，结论成立；假设n=k（kN*且k6）时结论成立，那么n=k+1时，在的基础上新增加的元素在(1，k+1)，(2，k+1)，(3，k+1)中产生，分以下情况讨论：(i) 若k+1=6t，则k=6(t-1)+5，此时有f(k+1）=f(k)+3=k+2+，结论成立；(ii)若k+1= 6t+1，则k=6t，此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+，结论成立;(iii)若k+1= 6t+2，则k= 6t+1，此时f(k+1)=f(k)+2=k+2+，结论成立；(iv)若k+1= 6t+3，则k= 6t+2，此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+ ，结论成立；(v)若k+1= 6t+4，则k= 6t+3，此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+结论成立；(vi)若k+1= 6t+5，则k= 6t+4，此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+，结论成立综上所述，结论对所有n6的自然数均成立