高中数学第四章4.2.1
4.2.1直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题知识点直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离为dd<rdrd>r代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式>00<0类型一直线与圆的位置关系的判断例1求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：相交；相切；相离解圆的方程化为标准形式为(x3)2y24，故圆心(3,0)到直线xmy30的距离为d，圆的半径为r2.若相交，则dr，即2，所以m2或m2；若相切，则dr，即2，所以m2；若相离，则dr，即2，所以2m2.反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系但有一定的局限性，必须是过定点的直线系跟踪训练1对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A相离 B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心答案C解析直线ykx1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2y22内，则直线ykx1与圆x2y22一定相交又直线ykx1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0,0)，故选C.类型二切线问题例2过点A(4，3)作圆(x3)2(y1)21的切线，求此切线方程解因为(43)2(31)217>1，所以点A在圆外若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线方程为xy30，即15x8y360.若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.引申探究若本例的条件不变，求其切线长解因为圆心C的坐标为(3,1)，设切点为B，则ABC为直角三角形，|AC|，又|BC|r1，则|AB|4，所以切线长为4.反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程如果k0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_答案x2y50解析点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2y25，所以该圆在点P处的切线方程为1x2y5，即x2y50.例3过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_答案(x3)2y22解析由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3.过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2)，即xy30，联立，解得所以圆心坐标为(3,0)，半径r，所以圆C的方程为(x3)2y22.反思与感悟此类题易错点是求最值时，对参数无法破解而致错，避免此类错误的关键：一是会用公式，即会利用点到直线的距离公式求距离；二是会转化，把要求的半径最大问题，转化为求代数式的最值；三是会利用圆的标准方程写出圆的方程. 跟踪训练3已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案B解析设圆心为C(a，a)，则，解得a1，所以r，圆C的方程为(x1)2(y1)22.故选B.类型三弦长问题例4(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_(2)圆心为C(2，1)，截直线yx1的弦长为2的圆的方程为_答案(1)(2)(x2)2(y1)24解析(1)方法一(交点法)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由解得A(，)，B(，)|AB|.方法二(弦长公式)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由消去y，得2x22x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x21，x1x2.|AB|.方法三(几何法)由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心O(0,0)到直线l的距离为d，则有|AB|22 .(2)设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线yx1的距离为d.又直线yx1被圆截得的弦长为2，即半弦长为，r2224，得r2，所求圆的方程为(x2)2(y1)24.(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2y225相交于A、B两点，截得的弦长为4，求直线l的方程解方法一若直线l的斜率不存在，则l：x5与圆C相切，不合题意，直线l的斜率存在，设其方程为y5k(x5)，即kxy5(1k)0.如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在RtAHO中，|OA|5，|AH|AB|42.|OH|，解得k或k2.直线l的方程为x2y50或2xy50.方法二若直线l的斜率不存在，则l：x5与圆C相切，不合题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5k(x5)，且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点由消去y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0，10k(1k)24(k21)25k(k2)>0，解得k>0.又x1x2，x1x2，由斜率公式， 得y1y2k(x1x2)|AB|4，两边平方，整理得2k25k20，解得k或k2，均符合题意故直线l的方程为x2y50或2xy50.反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|求解(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2| |y1y2|(直线l的斜率k存在) (3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2d2r2，即|AB|2.通常采用几何法较为简便跟踪训练4已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28.(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长(1)证明l：kxyk20，直线l可化为y2k(x1)，直线l经过定点(1,2)，(1)222<8，(1,2)在圆C内，直线l与圆相交(2)解由(1)知，直线l过定点P(1,2)，又圆C：x2y28的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短kOP2，kl，直线l：y2(x1)，即x2y50.设直线l与圆交于A、B两点，|AB|222.直线l的方程为x2y50，弦长为2.1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离答案B解析圆心到直线的距离为d<1，又直线yx1不过圆心(0,0)，故选B.2直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2或12 B2或12C2或12 D2或12答案D解析圆的方程为x2y22x2y10，可化为(x1)2(y1)21，由圆心(1,1)到直线3x4yb0的距离为1，得b2或12，故选D.3圆x2y216上的点到直线xy3的距离的最大值为()A. B4C.4 D0答案C解析圆心(0,0)到直线xy3的距离为，则该圆到直线xy3的距离的最大值为4.4圆x2y24截直线xy20所得的弦长为()A2 B1 C. D2答案A解析圆心(0,0)到直线xy20的距离为，则弦长为22.5直线ykx3与圆(x1)2(y2)24相交于M，N两点，且|MN|2，则k的取值范围是_答案(，0解析因为|MN|2，所以圆心(1,2)到直线ykx3的距离不大于1，即1，解得k0.1直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单2过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在3与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法课时作业
