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高中数学第四章4.2.1

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  • 卖家[上传人]:冰***
  • 文档编号:119613967
  • 上传时间:2020-01-20
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    • 1、4.2.1直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题知识点直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法:设圆心到直线的距离为ddr代数法:由消元得到一元二次方程,可得方程的判别式001,所以点A在圆外若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y3k(x4),即kxy4k30.设圆心为C,因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,所以1,即|k4|,所以k28k16k21,解得k.所以切线方程为xy30,即15x8y360.若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x4的距离为1,这时直线x4与圆相切,所以另一条切线方程为x4.综上,所求切线方程为15x8y360或x4.引申探究若本例的条件不变,求其切线长解因为圆心C的坐标为(3,1),设切点为B,则ABC为直角三角形,|AC|,又|BC|r1,则|AB|4,所以切线长为4.反思与感悟求过某一点的圆的切线方程,首先判定点与圆的位置关

      2、系,以确定切线的数目(1)求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:如果斜率存在且不为0,先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为,由点斜式方程可求得切线方程如果k0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)求圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解:设切线方程为yy0k(xx0),即kxykx0y00,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出但要注意,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为_答案x2y50解析点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,可得此圆的方程为x2y25,所以该圆在点P处的切线方程为1x2y5,即x2y50.例3过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1),则圆C的方程为_答案(x3)2y22解析由已知kAB0,所以AB的中垂线方程为x3.过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2),即xy30,联立,解得所以圆心坐标为(3,0),半径r,所以圆C的方程为(x3)2y22.

      3、反思与感悟此类题易错点是求最值时,对参数无法破解而致错,避免此类错误的关键:一是会用公式,即会利用点到直线的距离公式求距离;二是会转化,把要求的半径最大问题,转化为求代数式的最值;三是会利用圆的标准方程写出圆的方程. 跟踪训练3已知圆C与直线xy0及xy40都相切,圆心在直线xy0上,则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案B解析设圆心为C(a,a),则,解得a1,所以r,圆C的方程为(x1)2(y1)22.故选B.类型三弦长问题例4(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A,B两点若直线l的倾斜角为135,则弦AB的长为_(2)圆心为C(2,1),截直线yx1的弦长为2的圆的方程为_答案(1)(2)(x2)2(y1)24解析(1)方法一(交点法)由题意知,直线l的方程为y2(x1),即xy10.由解得A(,),B(,)|AB|.方法二(弦长公式)由题意知,直线l的方程为y2(x1),即xy10.由消去y,得2x22x70.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x21,x1x2.|AB|.方法

      4、三(几何法)由题意知直线l的方程为y2(x1),即xy10,圆心O(0,0)到直线l的距离为d,则有|AB|22 .(2)设圆的半径为r,由条件,得圆心到直线yx1的距离为d.又直线yx1被圆截得的弦长为2,即半弦长为,r2224,得r2,所求圆的方程为(x2)2(y1)24.(3)直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2y225相交于A、B两点,截得的弦长为4,求直线l的方程解方法一若直线l的斜率不存在,则l:x5与圆C相切,不合题意,直线l的斜率存在,设其方程为y5k(x5),即kxy5(1k)0.如图所示,|OH|是圆心到直线l的距离,|OA|是圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半,在RtAHO中,|OA|5,|AH|AB|42.|OH|,解得k或k2.直线l的方程为x2y50或2xy50.方法二若直线l的斜率不存在,则l:x5与圆C相切,不合题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y5k(x5),且与圆相交于A(x1,y1), B(x2,y2)两点由消去y,得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0,10k(1k)24(k21)25k(k2)0,解得k0.又x1x2,x

      5、1x2,由斜率公式, 得y1y2k(x1x2)|AB|4,两边平方,整理得2k25k20,解得k或k2,均符合题意故直线l的方程为x2y50或2xy50.反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的距离公式 |AB|求解(2)弦长公式:如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2| |y1y2|(直线l的斜率k存在) (3)几何法:如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有()2d2r2,即|AB|2.通常采用几何法较为简便跟踪训练4已知直线l:kxyk20与圆C:x2y28.(1)证明:直线l与圆相交;(2)当直线l被圆截得的弦长最短时,求直线l的方程,并求出弦长(1)证明l:kxyk20,直线l可化为y2k(x1),直线l经过定点(1,2),(1)2228,(1,2)在圆C内,直线l与圆相交(2)解由(1)知,直线l过定点P(1,2),又圆C:x2y28的圆心为原点O,则与OP垂直的直线截得的弦长最短kO

      6、P2,kl,直线l:y2(x1),即x2y50.设直线l与圆交于A、B两点,|AB|222.直线l的方程为x2y50,弦长为2.1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离答案B解析圆心到直线的距离为d1,又直线yx1不过圆心(0,0),故选B.2直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切,则b的值是()A2或12 B2或12C2或12 D2或12答案D解析圆的方程为x2y22x2y10,可化为(x1)2(y1)21,由圆心(1,1)到直线3x4yb0的距离为1,得b2或12,故选D.3圆x2y216上的点到直线xy3的距离的最大值为()A. B4C.4 D0答案C解析圆心(0,0)到直线xy3的距离为,则该圆到直线xy3的距离的最大值为4.4圆x2y24截直线xy20所得的弦长为()A2 B1 C. D2答案A解析圆心(0,0)到直线xy20的距离为,则弦长为22.5直线ykx3与圆(x1)2(y2)24相交于M,N两点,且|MN|2,则k的取值范围是_答案(,0解析因为|MN|2,所以圆心(1,2)到直线ykx3的距离不大于1,即1,解得k0.1直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知,或圆心到直线的距离易表达,则用几何法较为简单(2)若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离较复杂,则用代数法较简单2过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程(2)若点在圆外时,过该点的切线将有两条,但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条,这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在3与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r,弦心距d,弦长l的一半构成直角三角形,利用勾股定理可求出弦长,这是常用解法(2)联立直线与圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点间的距离公式求解,此法是通法课时作业

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