高中数学第四章4.2.1
14页1、4.2.1直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题知识点直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法:设圆心到直线的距离为ddr代数法:由消元得到一元二次方程,可得方程的判别式001,所以点A在圆外若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y3k(x4),即kxy4k30.设圆心为C,因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,所以1,即|k4|,所以k28k16k21,解得k.所以切线方程为xy30,即15x8y360.若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x4的距离为1,这时直线x4与圆相切,所以另一条切线方程为x4.综上,所求切线方程为15x8y360或x4.引申探究若本例的条件不变,求其切线长解因为圆心C的坐标为(3,1),设切点为B,则ABC为直角三角形,|AC|,又|BC|r1,则|AB|4,所以切线长为4.反思与感悟求过某一点的圆的切线方程,首先判定点与圆的位置关
2、系,以确定切线的数目(1)求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:如果斜率存在且不为0,先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为,由点斜式方程可求得切线方程如果k0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)求圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解:设切线方程为yy0k(xx0),即kxykx0y00,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出但要注意,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为_答案x2y50解析点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,可得此圆的方程为x2y25,所以该圆在点P处的切线方程为1x2y5,即x2y50.例3过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1),则圆C的方程为_答案(x3)2y22解析由已知kAB0,所以AB的中垂线方程为x3.过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2),即xy30,联立,解得所以圆心坐标为(3,0),半径r,所以圆C的方程为(x3)2y22.
3、反思与感悟此类题易错点是求最值时,对参数无法破解而致错,避免此类错误的关键:一是会用公式,即会利用点到直线的距离公式求距离;二是会转化,把要求的半径最大问题,转化为求代数式的最值;三是会利用圆的标准方程写出圆的方程. 跟踪训练3已知圆C与直线xy0及xy40都相切,圆心在直线xy0上,则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案B解析设圆心为C(a,a),则,解得a1,所以r,圆C的方程为(x1)2(y1)22.故选B.类型三弦长问题例4(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A,B两点若直线l的倾斜角为135,则弦AB的长为_(2)圆心为C(2,1),截直线yx1的弦长为2的圆的方程为_答案(1)(2)(x2)2(y1)24解析(1)方法一(交点法)由题意知,直线l的方程为y2(x1),即xy10.由解得A(,),B(,)|AB|.方法二(弦长公式)由题意知,直线l的方程为y2(x1),即xy10.由消去y,得2x22x70.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x21,x1x2.|AB|.方法
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