2018_2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）

河南省实验中学20182019学年下期期中试卷高一数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.=()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.【详解】因为 ,所以 ，故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.2.若是第一象限角，则终边在 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第一象限或第三象限D. 第一象限或第四象限【答案】C【解析】【分析】利用是第一象限角，得出角的范围，从而可得的范围.【详解】因为是第一象限角，所以，所以，;当为偶数时，终边在第一象限；当为奇数时，终边在第三象限；故选C.【点睛】本题主要考查角的终边所在象限，一般是利用角的范围求解.题目较为简单.3.已知D是ABC边AB上的中点，则向量（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算，用基底表示向量.【详解】因为D是ABC边AB上的中点，所以.故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢.4.已知，与的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用向量夹角，求出，再利用模长公式求解.【详解】因为，与的夹角为，所以;所以，所以.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，利用数量积求解模长问题，一般是把目标式先进行平方，再开方可得模长.5.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析角之间的关系，利用倍角公式可求.【详解】因为，,所以；，故选A.【点睛】本题主要考查利用倍角公式的求值问题，给值求值问题，一般是先找已知角和所求角之间的关系，再结合相关公式进行求解.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 先向左平移平移，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B. 先向左平移个单位，再横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变.C. 先横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再向左平移个单位.D. 先横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再向左平移个单位.【答案】D【解析】【分析】利用平移伸缩变换规律直接判断即可。【详解】将函数的图象先横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到：函数的图象，再将它向左平移个单位得到：函数的图象.即：的图象。故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的平移、伸缩规律，属于基础题。7.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合对数函数的定义域，可知真数要大于零；结合根式的意义，可知被开方式非负，从而可求.【详解】由题意可得，解得，其中；当时，两式取交集可得；当时，两式取交集可得；当时，两式取交集可得；综上可知选D.【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，根据解析式的特点，列出相应的限制条件，求出各限制条件的交集，可得函数的定义域.8.已知是方程的两个根，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用根与系数关系，求出，结合和角公式求出，再结合范围求出.【详解】由题意可得，；所以；因，所以，所以.因为，所以.故选B.【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，给值求角问题，一般是先求角的函数值，结合角的范围及函数值，可得所求角.9.已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且 ，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由为的重心，可得，结合，根据三点共线，得到的关系式，整理后即可得到答案【详解】为的重心，与共线存在实数使得即由向量相等的定义可得消去可得两边同时除以整理可得故选【点睛】本题主要考查的知识点是向量的线性性质以及几何意义，向量的共线定理以及三角形的重心，属于中档题。10.已知函数，则下列说法正确的是()A. 的最小正周期为B. 的值域为-1,1C. 在区间上单调递减D. 的图象关于中心对称【答案】D【解析】【分析】先化简函数解析式，讨论去掉绝对值，结合解析式的特点，求解函数的性质.【详解】因为，故A错误；当时，；当时，；因为，所以的值域为，故B错误；当时，此时为增函数，故C错误；，所以D正确.故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，研究函数的性质时，注意定义域优先的原则.11.已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为,则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用，确定点O的位置，结合三角形面积公式求解.【详解】因为，所以,分别取的中点,则,.所以,即三点共线且.如图所示，则,由于DAC中点，所以,所以.故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的应用，利用向量的线性运算及共线定理确定点的位置是求解本题的关键.12.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为()A. 7B. 9C. 11D. 13【答案】B【解析】【分析】根据的零点和对称轴确定出的取值及的范围，结合在单调确定的最大值.【详解】因为为的零点，所以；因为为图像的对称轴，所以，所以；因为在单调，所以，所以.若，此时，在递增，在递减，不符合题意；若，此时，在递减，符合题意；故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用性质确定函数的解析式时，注意参数的取值范围.二、填空题：请把答案填在题中横线上13.已知扇形AOB周长为3，当扇形面积最大时，扇形的圆心角为_【答案】2【解析】【分析】利用扇形周长和面积计算公式求解，确定面积的最大时的条件，求出圆心角.【详解】设扇形弧长为，半径为,则，扇形的面积,当时，取到最大值；此时.由得.【点睛】本题主要考查扇形的面积最值问题，明确面积的表达式，结合表达式的特征，利用二次函数求出最值或取到最值的条件.14.已知向量，.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】利用向量的坐标运算先表示向量，结合夹角为锐角，可求的取值范围.【详解】因为，所以，.因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向. 由得；与不同向时得；所以实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查平面向量的夹角问题，向量夹角为锐角则数量积为正且两个向量不同向，向量夹角为钝角则数量积为负且两个向量不反向.15._【答案】4【解析】【分析】化切为弦，利用倍角公式，化简可得.【详解】因为,所以.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换求值问题，三角函数的恒等变换的主要求解思路：统一角度，统一函数，降低次数.16.已知边长为2的正方形ABCD的顶点A、B分别在两条互相垂直的射线OP、OQ上滑动，则的最大值为_【答案】8【解析】【分析】利用向量的线性运算，用基向量表示出,求出的表达式，再求其最大值.【详解】,所以 . 设AB的中点为E，则,.所以当时，取到最大值8.故填8.【点睛】本题主要考查平面向量的应用，合理选择基向量，是求解这类问题的关键.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知，计算下列各式的值(1)；(2).【答案】(1);(2)-3.【解析】试题分析：（1）利用同角基本关系式化简计算即可；（2）利用诱导公式及商数关系化简计算即可.试题解析：由题易得：（）原式（）原式 点睛：1利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan可以实现角的弦切互化2应用公式时注意方程思想的应用：对于sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二3注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.18.已知、是在同一平面内的三个向量，其中(1)若，且，求坐标；(2)若，且，求与的夹角.【答案】(1) c=(2,4)或（-2，-4）;(2) .【解析】分析：（1）由，设，可设，利用列方程求出值，从而可得结果；（2）由可得，由可求得的模，结合，利用公式可得结果.详解：（1），设，则，又，解得或.（2）平面内向量夹角的的取值范围是， ， ，又 ，解得， 与的夹角为，故答案为（1）或；（2）.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）19.已知函数. （1）已知角的顶点和原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1） (2) 【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出角，然后根据两角和的余弦公式求解；（2）由得，所以，再求出，最后根据求解可得所求【详解】（1）角的终边过点，（2），又，.【点睛】本题考查利用三角变换求值，考查转化求解的能力，解题的关键是结合题意选择合适的公式，同时对于给值求值问题，要注意将所给条件作为一个整体，并通过适当的角的变换进行求解，属于基础题20.设平面向量， ，函数.(1)求的最小正周期，并求出的单调递减区间；(2)若方程在内无实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）最小正周期为单调递减区间为， （2）【解析】【分析】（1）根据向量坐标运算公式，求出的表达式，化简为标准型，从而可得周期和单调区间；（2）求出的值域，结合图像特点，得出范围.【详解】(1)由题意得 .的最小正周期为 由，得函数的单调递减区间为， (2)由可得：，令,则. 只需直线与图像没有交点即可.或者 解得：或 故的取值范围为【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，利用恒等变换先把函数化为标准型，再结合换元法可求单调区间及最值等.21.为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站设有三个乡镇，分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M、N及P、Q的中点S处，现要在该矩形的区域内（含边界），且与M、N等距离的一点O处设一个宣讲站，记O点到三个乡镇的距离之和为（1）设 ，将表示为的函数；（2）试利用（1）的函数关系式确定宣讲站O的位置，使宣讲站O到三个乡镇的距离之和最小【答案】(1) .(2) 宣讲站位置满足：时,可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小【解析】【分析】（I）根据锐角三角函数