数学分析第四讲函数的连续性

2019/11/28,1,第 四 章 函数的连续性,2019/11/28,2,§1 函数连续的概念,°,y=(x),A,g(x0),A,g(x0),引例,2019/11/28,3,一、函数的连续性,1.连续的定义,和极限存在的区别,2019/11/28,4,函数的连续的等价定义,2.函数的增量,2019/11/28,5,2019/11/28,6,例1,证,由定义1知,2019/11/28,7,3.单侧连续,定理,2019/11/28,8,左、右极限存在且与函数值相等.,2019/11/28,9,例2,解,右连续但不左连续 ,2019/11/28,10,4. 函数的区间连续,在区间(a,b)上每一点都连续的函数,叫做区间(a,b)上的连续函数,或者说函数在区间(a,b)上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,记为：,2019/11/28,11,例3,证,2019/11/28,12,二、函数的间断点,2019/11/28,13,二、函数的间断点,连续,间断,2019/11/28,14,例4,解,这种情况称x=0为震荡间断点.,2019/11/28,15,例5 符号函数,2019/11/28,16,例6,解,2019/11/28,17,可去间断点,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,2019/11/28,18,2019/11/28,19,解,例8,2019/11/28,20,2019/11/28,21,例9,解,2019/11/28,22,间断点分类：,第类间断点：,都存在,第类间断点：,不全存在,2019/11/28,23,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,2019/11/28,24,例10,解,2019/11/28,25,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:跳跃型, 可去型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,2019/11/28,26,思考题,2019/11/28,27,思考题解答,且,2019/11/28,28,但反之不成立.,例,但,2019/11/28,29,练 习 题,2019/11/28,30,2019/11/28,31,练习题答案,2019/11/28,32,2019/11/28,33,三、 一致连续性,f (x) 在某个区间 I（或开，或闭）连续，指得是f (x) 在 I 中每一点都连续，即,这就是函数在区间上的一致连续性问题。,2019/11/28,34,定义（一致连续） 设 f (x)为定义在区间I上 的函数， 若,则称f在I上一致连续。,f在I上一致连续,f在I上连续。,反之不然。,一致连续是整体概念。,2019/11/28,35,连续：,一致连续：,2019/11/28,36,一般说来对I上无穷多个点，存在无穷多个d,这无穷多个d 的下确界可能为零，也可能大于零。,如果这无穷多个d 的下确界为零，则不存在适合I上所有点的公共的大于0的d，,这种情况 f (x) 在I 上一致连续。,如果这无穷多个d 的下确界大于零，则必存在对I 上每一点都适用的公共的d ，,这种情况 f (x) 在I上不一致连续，,2019/11/28,37,不一致连续：,定理（Contor定理，一致连续性定理）,若 f 在 a,b 连续，则 f 在 a,b 一致连续。,一致连续：,2019/11/28,38,例1,证,2019/11/28,39,例2,证（1）,2019/11/28,40,2019/11/28,41,第二节 连续函数的运算与 初等函数的连续性,一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结,2019/11/28,42,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理1,例如,2019/11/28,43,二、反函数与复合函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,2019/11/28,44,定理3,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,2019/11/28,45,例1,解,定理3,定理3,2019/11/28,46,例2,解2,2019/11/28,47,定理4,注意 定理4是定理3的特殊情况.,例如,2019/11/28,48,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,只要证明 连续即可,2019/11/28,49,(可以证明，幂函数均在其定义域内连续 ),定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,2019/11/28,50,(均在其定义域内连续 ),2019/11/28,51,例3,例4,解,解,初等函数求极限的方法代入法,2019/11/28,52,例1,解,2019/11/28,53,例2,2019/11/28,54,四、小结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,两个定理; 两点意义.,反函数的连续性.,2019/11/28,55,练 习 题,2019/11/28,56,2019/11/28,57,2019/11/28,58,练习题答案,2019/11/28,59,第三节 闭区间上连续函数的性质,一、最值定理 二、介值定理 三、小结,2019/11/28,60,一、最值定理,定义:,最大、最小值定义,2019/11/28,61,定理1(最值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,2019/11/28,62,注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,2019/11/28,63,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,2019/11/28,64,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,则f(x)在a, b上有最大值M，最小值m.,2019/11/28,65,二、零点定理、介值定理,定义:,定理3（零点定理）,2019/11/28,66,几何解释:,2019/11/28,67,证,由零点定理,用零点定理证,2019/11/28,68,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,x1,x2,2019/11/28,69,例1,证,由零点定理,代数应用: 零点存在定理给了大家一个判定方程在某个区间上是否有根的方法.,2019/11/28,70,例2,证,由零点定理,2019/11/28,71,三、小结,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,2019/11/28,72,思考题,下述命题是否正确？,2019/11/28,73,思考题解答,不正确.,例函数,2019/11/28,74,练 习 题,2019/11/28,75,2019/11/28,76,补充 极限计算：,解,例1,2019/11/28,77,例2,解,计算,2019/11/28,78,解,故原式=0。,2019/11/28,79,解,例3,有界量,无穷小,2019/11/28,80,例4,解,利用有理分式的极限性质,