数学分析第四讲函数的连续性
80页1、2019/11/28,1,第 四 章 函数的连续性,2019/11/28,2,1 函数连续的概念,y=(x),A,g(x0),A,g(x0),引例,2019/11/28,3,一、函数的连续性,1.连续的定义,和极限存在的区别,2019/11/28,4,函数的连续的等价定义,2.函数的增量,2019/11/28,5,2019/11/28,6,例1,证,由定义1知,2019/11/28,7,3.单侧连续,定理,2019/11/28,8,左、右极限存在且与函数值相等.,2019/11/28,9,例2,解,右连续但不左连续 ,2019/11/28,10,4. 函数的区间连续,在区间(a,b)上每一点都连续的函数,叫做区间(a,b)上的连续函数,或者说函数在区间(a,b)上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,记为:,2019/11/28,11,例3,证,2019/11/28,12,二、函数的间断点,2019/11/28,13,二、函数的间断点,连续,间断,2019/11/28,14,例4,解,这种情况称x=0为震荡间断点.,2019/11/28,15,例5 符号函数,2019
2、/11/28,16,例6,解,2019/11/28,17,可去间断点,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,2019/11/28,18,2019/11/28,19,解,例8,2019/11/28,20,2019/11/28,21,例9,解,2019/11/28,22,间断点分类:,第类间断点:,都存在,第类间断点:,不全存在,2019/11/28,23,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,2019/11/28,24,例10,解,2019/11/28,25,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:跳跃型, 可去型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,2019/11/28,26,思考题,2019/11/28,27,思考题解答,且,2019/11/28,28,但反之不成立.,例,但,2019/11/28,29,练 习 题,2019/11/28,30,2019/11/28,31,练习题答案,2019/11/28,32,2019/11/28,33,三、 一致
3、连续性,f (x) 在某个区间 I(或开,或闭)连续,指得是f (x) 在 I 中每一点都连续,即,这就是函数在区间上的一致连续性问题。,2019/11/28,34,定义(一致连续) 设 f (x)为定义在区间I上 的函数, 若,则称f在I上一致连续。,f在I上一致连续,f在I上连续。,反之不然。,一致连续是整体概念。,2019/11/28,35,连续:,一致连续:,2019/11/28,36,一般说来对I上无穷多个点,存在无穷多个d,这无穷多个d 的下确界可能为零,也可能大于零。,如果这无穷多个d 的下确界为零,则不存在适合I上所有点的公共的大于0的d,,这种情况 f (x) 在I 上一致连续。,如果这无穷多个d 的下确界大于零,则必存在对I 上每一点都适用的公共的d ,,这种情况 f (x) 在I上不一致连续,,2019/11/28,37,不一致连续:,定理(Contor定理,一致连续性定理),若 f 在 a,b 连续,则 f 在 a,b 一致连续。,一致连续:,2019/11/28,38,例1,证,2019/11/28,39,例2,证(1),2019/11/28,40,2019/
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