【5年高考3年模拟】2019版数学（理）课件：8.2-直线、平面平行的判定与性质

§8.2 直线、平面平行的判定与性质 高考理数 (课标专用) A组 统一命题·课标卷题组 考点 直线、平面平行的判定与性质 1.(2016课标,14,5分),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: 如果mn,m,n,那么. 如果m,n,那么mn. 如果,m ,那么m. 如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 五年高考 答案 解析 对于,由mn,m可得n或n在内,当n时,与可能相交,也可能平行,故错 误;对于,过直线n作平面与平面交于直线c,由n可知nc,m,mc,mn,故正 确;对于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其 正确,故正确的有. 解题关键 熟记和理解每个定理是解决此类问题的关键. 2.(2014课标,18,12分,0.534)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为 PD的中点. (1)证明:PB平面AEC; (2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD= ,求三棱锥E-ACD的体积. 解析 (1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO. 因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点. 又E为PD的中点,所以EOPB. 又EO 平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC. (2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直. 如图,以A为坐标原点, 的方向为x轴的正方向,| |为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D (0, ,0),E , = . 设B(m,0,0)(m0),则C(m, ,0), =(m, ,0). 设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量, 则 即 可取n1= . 又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设得|cos|= ,即 = ,解得m= . 因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为 . 三棱锥E-ACD的体积V= × × × × = . 思路分析 (1)在平面AEC内找出与PB平行的直线,分析题意可通过作三角形的中位线进行证 明;(2)要求三棱锥E-ACD的体积,易知三棱锥的高,又已知底面直角三角形的一直角边AD的长, 故只需求出另一直角边CD的长.可建立空间直角坐标系,利用向量法列方程(组)求解. 易错警示 对于第(2)问,二面角的平面角与两个半平面的法向量夹角相等或互补,部分同学容 易错误认为仅相等,另外,计算法向量时可能出错. 评析 本题考查线面平行的判定,利用空间向量解二面角问题,考查了学生的空间想象能力. 考点 直线、平面平行的判定与性质 1.(2018浙江,6,4分)已知平面,直线m,n满足m,n ,则“mn”是“m”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 B组 自主命题·省(区、市)卷题组 答案 A m,n ,mn,m,故充分性成立.而由m,n ,得mn或m与n异面,故 必要性不成立.故选A. 2.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则 ( ) A.ml B.mn C.nl D.mn 答案 C 对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平行、相交或异面,故B、 D错;对于C,因为n,l ,所以nl,故C正确.故选C. 评析 本题考查了线面平行与垂直的性质及空间两条直线的位置关系. 3.(2015福建,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面,则“lm”是“l”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 由已知知m,若lm,则l或l .故充分性不成立.若l,则一定有lm.故必要 性成立.选B. 4.(2015安徽,5,5分)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若,垂直于同一平面,则与平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若, ,则在内 与平行的直线 D.若m,n ,则m与n 垂直于同一平面 答案 D 若,垂直于同一个平面,则,可以都过的同一条垂线,即,可以相交,故A错;若 m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若,不平行,则,相 交,设=l,在内存在直线a,使al,则a,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂 直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知mn,故D正确. 5.(2018江苏,15,14分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1. 求证:(1)AB平面A1B1C; (2)平面ABB1A1平面A1BC. 证明 本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象 能力和推理论证能力. (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1. 因为AB平面A1B1C,A1B1 平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,所以AB1A1B. 因为AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC. 又因为A1BBC=B,A1B 平面A1BC,BC 平面A1BC, 所以AB1平面A1BC, 又因为AB1 平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC. 6.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E 与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD. 求证:(1)EF平面ABC; (2)ADAC. 证明 (1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB. 又因为EF平面ABC,AB 平面ABC,所以EF平面ABC. (2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD, BC 平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD. 因为AD 平面ABD,所以BCAD. 又ABAD,BCAB=B,AB 平面ABC,BC 平面ABC, 所以AD平面ABC. 又因为AC 平面ABC,所以ADAC. 方法总结 立体几何中证明线线垂直的一般思路: (1)利用两平行直线垂直于同一条直线(ab,ac bc); (2)线面垂直的性质(a,b ab). 7.(2016四川,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90°,BC=CD= AD,E 为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°. (1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由; (2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 解析 (1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行. 延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M即为所求的一个点. 理由如下: 由已知,BCED,且BC=ED. 所以四边形BCDE是平行四边形. 从而CMEB.又EB 平面PBE,CM平面PBE, 所以CM平面PBE. (说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)解法一:由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A, 所以CD平面PAD.从而CDPD. 所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°. 设BC=1,则在RtPAD中,PA=AD=2. 过点A作AHCE,交CE的延长线于点H,连接PH. 易知PA平面ABCD,又CE 平面ABCD, 从而PACE.于是CE平面PAH. 所以平面PCE平面PAH. 过A作AQPH于Q,则AQ平面PCE. 所以APH是PA与平面PCE所成的角. 在RtAEH中,AEH=45°,AE=1,所以AH= . 在RtPAH中,PH= = , 所以sinAPH= = . 解法二:由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A, 所以CD平面PAD.于是CDPD. 从而PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以PDA=45°.由PAAB,可得PA平面ABCD. 设BC=1,则在RtPAD中,PA=AD=2. 作AyAD,以A为原点,以 , 的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐 标系A-xyz, 则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0), 所以 =(1,0,-2), =(1,1,0), =(0,0,2). 设平面PCE的法向量为n=(x,y,z), 由 得 设x=2,解得n=(2,-2,1). 设直线PA与平面PCE所成角为, 则sin = = = . 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 . 思路分析 对(1),延长AB,DC相交于一点M,则M在平面PAB内,由已知易知CMEB,从而CM 平面PBE;对(2),有两种解法:解法一是传统几何方法,作出PA与面PCE所成的角,然后通过解三 角形求值;解法二是向量法,建立空间直角坐标系,求出面PCE的一个法向量n,利用sin = 求值. 8.(2015山东,17,12分)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点. (1)求证:BD平面FGH; (2)若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的 大小. 解析 (1)证法一:连接DG,CD,设CDGF=O,连接OH. 在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平 行四边形. 则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OHBD, 又OH 平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH. 证法二:在三棱台DEF-ABC中, 由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF, 所以四边形BHFE为平行四边形,可得BEHF. 在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB. 又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED. 因为BD 平面ABED,所以BD平面FGH. (2)解法一:设AB=2,则CF=1. 在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF= AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此 DGFC. 又FC平面ABC,所以DG平面ABC. 在ABC中,由ABBC,BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GBGC,因此GB,GC,GD两两垂 直. 以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz. 所以G(0,0,0),B( ,0,0),C(0, ,0),D(0,0,1). 可得H ,F(0, ,1), 故 = , =(0, ,1). 设n=(x,y,z)是平面FGH的法向量, 则由 可得 可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1, ). 因为 是平面ACFD的一个法向量, =( ,0,0), 所以cos= = = . 所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°. 解法二:作HMAC于点M,作MNGF于点N,连接NH. 由FC平面ABC,得HMFC, 又FCAC=C,所以HM平面ACFD. 因此GFNH,所以MNH即为所求的角. 在BGC中,MHBG,MH= BG= , 由GNMGCF,可得 = ,从而M