概率论第六章综述

BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 第六章第一节 引言 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 本章转入课程的第二部分 数理统计 数理统计的特点是应用面广，分支 较多. 社会的发展不断向统计提出新的 问题. 计算机的诞生与发展，为数据处理 提供了强有力的技术支持，数理统计与 计算机的结合是必然的发展趋势. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 学习统计无须把过多时间化在计算上， 可以更有效地把时间用在基本概念、方法 原理的正确理解上. 国内外著名的统计软 件包： SAS，SPSS，MATLAB, STAT, R等 ，都可以让你快速、简便地进行数据处理 和分析. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 从历史的典籍中，人们不难发现许 多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的 记载，说明人们很早就开始了统计的工 作 . 但是当时的统计，只是对有关事实 的简单记录和整理，而没有在一定理论 的指导下，作出超越这些数据范围之外 的推断. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 到了十九世纪末二十世纪初，随 着近代数学和概率论的发展，才真正 诞生了数理统计学这门学科. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 数理统计学是一门应用性很强的学 科. 它是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性的数据，以便对 所考察的问题作出推断和预测，直至为 采取一定的决策和行动提供依据和建议. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 数理统计不同于一般的资料统计，它 更侧重于应用随机现象本身的规律性进行 资料的收集、整理和分析. 由于大量随机现象必然呈现出它的规 律性，因而从理论上讲，只要对随机现象 进行足够多次观察，被研究的随机现象的 规律性一定能清楚地呈现出来. 只允许我们对随机现象进行次数不多的观 察试验，也就是说, 我们获得的只是局部 观察资料. 但客观上 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 数理统计的任务就是研究怎样有效 地收集、整理、分析所获得的有限的资 料，对所研究的问题, 尽可能地作出精 确而可靠的结论. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 现实世界中存在着形形色色的数据,分 析这些数据需要多种多样的方法. 因此,数理统计中的方法和支持这些方 法的相应理论是相当丰富的.概括起来可以 归纳成两大类: l 参数估计根据数据,用一些方法 对分布的未知参数进行估计. l 假设检验根据数据,用一些方法对 分布的未知参数进行检验. 它们构成了统计推断的两种基本形式. 这两种推断渗透到了数理统计的每个分支. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 第六章第二节 总体与样本 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 总体：研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。 总体中包含的个体的个数称为总体的容量。 从本质上讲，总体就是所研究的 随机变量或随机变量的分布。 一、总体与样本 例如:我们想要研究一家工厂的某种产品的废品 率.这种产品的全体就是我们的总体,而每件产品 则是个体. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 实际上,我们真正关心的并不是总 体或个体的本身,而是其某项数量指标. 比如某家工厂的一种产品的使用寿命这样 一项数量指标. 因此,我们应该把总体理解 为那些研究对象上的某项数量指标的全体. 为了评价一家工厂的某种产品的质量的好 坏,通常的做法是从它的全部产品中随机地抽 取一些样品,在统计学上称为样本. 同上道理,我们实际是把样本理解为样品上 的数量指标. 因此,今后当我们说到总体和样本时,既指 研究对象又指它们的某项数量指标. 说明 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 在上面的例子中,总体是很直观的,是 看得见摸得着的. 但是客观情况并不总是这样. 例1 注意 研究某地区农户的年收入. 在这里,总体X指农户的年收入。如果我们 随机地抽出n个农户作为调查对象,那么,这n个 农户以及我们关心的数量指标他们的年收 入 这n个数字就是样本. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 对一个总体,如果我们用X表示它的数量 指标,那么X的值对不同的个体取不同的值.因 此,如果我们随机地抽取个体,则X的值也就随 着抽取的个体的不同而不同. 所以X是一个随机变量! 既然总体X是随机变量,自然就有其概率 分布.我们把X的分布称为总体的分布. 总体的特性是由总体分布来刻画的. 因此,我们常把总体和总体分布视为同义 语. 二、总体的分布 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 三、随机样本 样本：来自总体X的部分个体X1，Xn 如果满足： （1）同分布性：Xi，i=1,n,与总体同分布 ; （2）独立性：X1， ，Xn相互独立. 则称它为容量为n 的简单随机样本，简称样本 . 而称X1， ，Xn的一次实现为样本观察值 ，记为x1， ，xn. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 四、样本的二重性 （1） 假设X1,X2 , ,Xn是从总体X中抽取 的样本,在一次具体的观测或试验中,它们是一 批测量值,是一些已得到的数.这就是说,样本 具有数的属性 （2） 另一方面,由于在具体的试验或观测中, 受到各种随机因素的影响,在不同的观测中样 本取值可能不同.故，样本又具有随机变量 的属性。 样本X1,X2 , ,Xn既可被看成数又可被 看成随机变量,这就是所谓 样本的二重性. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 需要特别强调的是,以后凡是我们离 开具体的一次观测或试验来谈及样本X1,X2 , ,Xn 时,它们总是被看成随机变量. 注意 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 既然样本 X1,X2 , ,Xn 被看作随机变量, 自然就需要研究它们的分布 五、样本的分布 假设总体X具有概率密度f(x),则由于样 本 X1,X2 , ,Xn 是相互独立且与X同分布,于 是它们的联合概率密度为 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 假设某大城市居民的收入服从正态分 布 N(,2),其概率密度函数为: 例2 现从中随机抽取一组样本 X1,X2 , ,Xn. 因为它们相互独立,且都与总体同分布,即: Xi N(,2),i1,2,n. 于是样本 X1,X2 , ,Xn 的联合概率密度为 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 六、六、 总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系 总体 样本 样本观察值 理论分布 统计是从手中已有的资料样本观察值，去 推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的 桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就 是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观 察值去推断总体。 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 第六章第三节 统计量 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本 值进行“加工”，这就要构造一些样本的函 数，它把样本中所含的（某一方面）的信 息集中起来. 一、 统计量 这种不含任何未知不含任何未知参数的样本的函数 称为统计量. 它是完全由样本决定的量. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 二、几个常见统计量 样本均值 样本方差 它反映了总体均值 的信息 它反映了总体方差 的信息 注意： BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 k=1,2, 它反映了总体k 阶矩 的信息 它反映了总体k 阶 中心矩的信息 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 三、抽样分布 统计量既然是依赖于样本的，而 后者又是随机变量，故统计量也是随 机变量，因而就有一定的分布，这个 分布叫做统计量的“抽样分布” . BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 抽样分布就是通常的随机变量函数 的分布. 只是强调这一分布是由一个统 计量所产生的. 研究统计量的性质和评 价一个统计推断的优良性，完全取决于 其抽样分布的性质. 抽样分布 精确抽样分布 渐近分布 （小样本问题中使用） （大样本问题中使用) BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 设 X1,X2 , ,Xn是来自均值为 ,方差为2的总体的一组样本.则当n充分 大时,近似地有 定理 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 X1,X2 , ,Xn是来自均值为 ,方 差为2的总体的一组样本. X1,X2 , ,Xn是独立同分布的, 且 E(X)=,Var(X)=2, i=1,2,n. 根据中心极限定理(定理5.2.1),我们有 对充分大的n,近似地有 证明: BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 ¶ 样本均值的分布函数的近似地计算 l 定理 的应用 · 样本均值与的偏差的研究的近似地计算 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 我们看到,当2给定,那么对于固定的c, 当样本大小 n增大时,上面的概率也随之增加 .n趋近于无穷时则趋近于1. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 公司用机器向瓶子里灌装液体洗净剂,规 定每瓶装毫升.但实际灌装量总有一定的波动 .假定灌装量的方差2=1,如果每箱装25瓶这样 的洗净剂. 求:这25瓶洗净剂的平均灌装量与标定值 相差不超过0.3毫升的概率是多少？ 又:如果每箱装50瓶时呢? 记一箱中25瓶洗净剂灌装量为X1,X2,X25, 它们是来自均值为, 方差为1的总体中的样本. 根据定理6.3.1,近似有 解: 例3 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 当n=50,同样算出 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 第六章第四节 正态总体 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 统计三大分布统计三大分布 记为 分布(或卡方分布) 一、 定义: 设 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布. 分布是由正态分布派生出来的一种分布. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 分布的密度函数为 来定义. 其中伽玛函数 通过积分 BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 由 分布的定义，不难得到： 1. 设 相互独立, 都服从正态分布 则 2. 设 且X1, X2相互独立， 则 这个性质叫 分布的可加性. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 ，则当n充分大时，若 的分布近似正态分布N(0,1). 则可以求得， E(X)=n, Var(X)=2n 若3. 应用中心极限定理可得，若4. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 n 2分布的上分位点可以查附表4(P244). n 2分布的 上分位点图 形如右图. 2分布的分位点 对于(0,1)给定,称满足 条件: 的点n 2()为 n 2分布的上分位点. BJUTBJUT 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量 T的密度函数为： 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 定义: 设XN(