数学分析课件傅里叶级数

返回返回后页后页前页前页 §1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数. 返回返回 一、三角级数·正交函数系 三、收敛定理 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 返回返回后页后页前页前页 一、三角级数·正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数 来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动, 其中A为为振幅. 为为初相角, 为为角频频率, 于是简谐简谐 振动动y 的周期是 较为较为 复杂杂的周期运动动, 则则 常常是几个简谐振动 返回返回后页后页前页前页 由于简谐简谐 振动动 的周期为为 所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 的叠加： 若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运 返回返回后页后页前页前页 动现动现 象. 对对于级级数(3), 只须讨论须讨论 (如果 可 用代换换x )的情形. 由于 所以 返回返回后页后页前页前页 它是由三角函数列(也称为三角函数系) 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理: 则级数( )可写成 返回返回后页后页前页前页 定理 15.1 若级数 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所 返回返回后页后页前页前页 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期 的乘积在 上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 上的积积分都 返回返回后页后页前页前页 不等于零, 即 若两个函数与在 上可积积, 且 则则称 与在上是正交的, 或在上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系. 返回返回后页后页前页前页 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级级数(4)的系数之间间的关系. 定理15.2 若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 返回返回后页后页前页前页 证证 由定理条件, 函数 f 在上连续连续 且可积积. 对对 (9)式逐项积分得 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以 返回返回后页后页前页前页 即 又以乘(9)式两边边 (k为为正整数), 得 从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可 得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积, 有 返回返回后页后页前页前页 由三角函数的正交性, 右边边除了以为为系数的那一 项积分 外,其他各项积分都等于0,于是得出: 返回返回后页后页前页前页 即 同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得 返回返回后页后页前页前页 由此可知, 若f 是以 为为周期且在 上可积 积的 函数, 则则可按公式(10)计计算出 和, 它们们称为为函数 f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里 叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数 系) 的傅里叶级数, 记作 这里记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级 数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整 返回返回后页后页前页前页 个数轴上一致收敛于和函数 f , 则此三角级数就是 f 的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“”可换为 函数 f 出发, 按公式(10)求出其傅里叶系数并得到 傅里叶级数(12) , 这时还需讨论此级数是否收敛. 如果收敛, 是否收敛于 f 本身. 这就是下一段所要 叙述的内容. 等号. 然而, 若从以 为为周期且在上可积积的 返回返回后页后页前页前页 函数 f 在 上按段光滑, 则则在每一点 f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的 算术平均值, 即 其中为为f 的傅里叶系数. 定理的证明将在§3中进行. 定理15.3(傅里叶级数收敛定理) 若以 为周期的 三、收敛定理 返回返回后页后页前页前页 注 尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对 函数的要求却比幂级数要低得多, 所以应用更广. 而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉. 概念解释 1. 若f 的导导函数在 上连续连续 , 则则称f在a, b上光滑. 2. 如果定义义在 上函数f 至多有有限个第一类间类间 断点,其导函数在a, b上除了至多有限个点外都存 在且连续连续 , 并且在这这有限个点上导导函数 的左、右 极限存在, 则则称 f 在 上按段光滑. 返回返回后页后页前页前页 在a, b上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 上可积积. (ii) 在 上每一点都存在 , 如果在不连续连续 点补补充定义义 , 或 , 则则 还有 返回返回后页后页前页前页 (iii) 在补补充定义 义 在 上那些至多有限个不存在 导导数的点上的值值后 ( 仍记为记为 ), 在a, b上可积积. 从几何图形上讲, 在 区间a, b上按段光滑 光滑函数,是由有限个 多有有限个第一类间 断点 (图15-1). 光滑弧段所组成,它至 返回返回后页后页前页前页 收敛敛定理指出, f 的傅里叶级级数在点 x 处处收敛敛于 在 该该点的左、右极限的算术术平均值值 而当 f 在点 x 连续时,则有 即此时时f的傅里叶级级数收敛敛于 . 这样这样 便有 上按段光滑, 则则 f 的傅里叶级级数在 上收敛敛 于 f . 推论论 若 f 是以 为为周期的连续连续 函数, 且在 返回返回后页后页前页前页 所以系数公式(10)中的积积分区间间 可以改为长为长 其中 c 为任何实数. 注2 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时, 经常 只给给出函数在 (或 )上的解析式, 但读读 注1 根据收敛定理的假设,f 是以 为周期的函数, 度为为 的任何区间间, 而不影响 , 的值值: 返回返回后页后页前页前页 者应应理解为为它是定义义在整个数轴轴上以 为为周期的函 数, 即在 以外的部分按函数在 上的对对 应关系做周期延拓. 也就是说函数本身不一定是定 义在整个数轴上的周期函数, 但我们认为它是周期 函数. 如 f 为为 上的解析表达式, 那么周期延拓 后的函数为 返回返回后页后页前页前页 如图15-2所示. 因此当笼统地说函数的傅里叶级数 时时就是指函数 的傅里叶级级数. 例 1 设设 求 f 傅里叶级数展 开式. 返回返回后页后页前页前页 解 函数 f 及其周期延拓后的图像如图15-3 所示, 显然 f 是按段光滑的. 故由傅里叶级数收敛定理, 它可以展开成傅里叶级 数. 由于 返回返回后页后页前页前页 当n1时, 返回返回后页后页前页前页 所以在开区间间 上 在 时时, 上式右边边收敛敛于 返回返回后页后页前页前页 于是, 在 上 f 的傅里叶级级数的图图象如图图15-4 所示( 注意它与图15-3 的差别 ). 例2 将下列函数展开成傅里叶级数 : 返回返回后页后页前页前页 解 f 及其周期延拓的 图形如图15-5 所示. 显然 f 是按段光滑的, 因此可以展开成傅里 叶级数. 返回返回后页后页前页前页 在( )中令 , 在 上计计算傅里叶系数如下: 返回返回后页后页前页前页 返回返回后页后页前页前页 所以当 时时, 返回返回后页后页前页前页 返回返回后页后页前页前页 当时时, 由于 所以 因此 当或 时时, 由于 返回返回后页后页前页前页 由(14)或(15)都可推得 注 上式提供了一个计计算 的方法. 还还可以找出其他 展开式来计计算 , 关键键是收敛敛速度要快. 例3 在电子技术中经常用到矩形波(如图15-6所示), 反映的是一种复杂的周期运动, 用傅里叶级数展开 后, 就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的 返回返回后页后页前页前页 简谐振动的叠加, 在电工学中称为谐波分析. 设设是周期为为的矩形波函数( 图图15-6 ), 在上的表达式为为 求该矩形波函数的傅里叶展开式. 解 由于是奇函数, 积积分区间间是对对称区间间 , 所以 返回返回后页后页前页前页 于是当时时, 返回返回后页后页前页前页 当时时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ). 返回返回后页后页前页前页 复习思考题 设设函数 f 在上可积积, 并且, 这样这样 的函数能否求出其傅里叶级数?