数学分析课件傅里叶级数
38页1、返回返回后页后页前页前页 1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数. 返回返回 一、三角级数正交函数系 三、收敛定理 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 返回返回后页后页前页前页 一、三角级数正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数 来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动, 其中A为为振幅. 为为初相角, 为为角频频率, 于是简谐简谐 振动动y 的周期是 较为较为 复杂杂的周期运动动, 则则 常常是几个简谐振动 返回返回后页后页前页前页 由于简谐简谐 振动动 的周期为为 所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 的叠加: 若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运 返回返回后页后页前页前页 动现动现 象. 对对于级
2、级数(3), 只须讨论须讨论 (如果 可 用代换换x )的情形. 由于 所以 返回返回后页后页前页前页 它是由三角函数列(也称为三角函数系) 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理: 则级数( )可写成 返回返回后页后页前页前页 定理 15.1 若级数 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所 返回返回后页后页前页前页 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期 的乘积在 上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 上的积积分都 返回返回后页后页前页前页 不等于零, 即 若两个函数与在 上可积积, 且 则则称 与在上是正交的, 或在上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系. 返回返回后页后页前页前页 现应用三角函数系(5)的
3、正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级级数(4)的系数之间间的关系. 定理15.2 若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 返回返回后页后页前页前页 证证 由定理条件, 函数 f 在上连续连续 且可积积. 对对 (9)式逐项积分得 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以 返回返回后页后页前页前页 即 又以乘(9)式两边边 (k为为正整数), 得 从第十三章1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可 得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积, 有 返回返回后页后页前页前页 由三角函数的正交性, 右边边除了以为为系数的那一 项积分 外,其他各项积分都等于0,于是得出: 返回返回后页后页前页前页 即 同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得 返回返回后页后页前页前页 由此可知, 若f 是以 为为周期且在 上可积 积的 函数, 则则可按公式(10)计计算出 和, 它们们称为为函数 f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里 叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
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