江西2018年中考数学总复习 第1部分 基础过关 第三单元 函数 课时13 二次函数的综合与应用

2018 江西 第三单元 函数 课时13 二次函数的综合与应用 目 录 CONTE NTS 过 中 考 过 考 点 例1 如图1，用长为18 m的篱笆(3ABBC) ，围成矩形花圃一面利用墙(墙足够长)，则围 成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为_m2. 过 考 点 考点 二次函数的应用(6年未考) 27 考情分析 2017年第22题，2016年第23题， 2015年第23题，2014年第24题，2013年第24题， 2012年第23题均考查了二次函数的综合，涉及相 似三角形、平行四边形的判定定理及性质等 考点 二次函数的综合(每年必考，重难点) 例2 (2017陕西)如图3，在 同一直角坐标系中，抛物线C1 ：yax22x3与抛物线C2： yx2mxn关于y轴对称， C2与x轴交于A，B两点，其中 点A在点B的左侧 (1)求抛物线C1，C2的函数表达式； (2)求A，B两点的坐标； (3)在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2 上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B， P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在 ，求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)C1，C2关于y轴对称， C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形 状、大小均相同 a1，n3. C1的对称轴为x1. C2的对称轴为x1. m2. C1的函数表达式为yx22x3， C2的函数表达式为yx22x3. (2)在C2：yx22x3中， 令y0可得x22x30，解得x3或x1 ， A(3,0)，B(1,0) (3)存在 AB为平行四边形的一边 PQAB且PQAB 由(2)可知AB1(3)4，PQ4. 设点P的坐标为(t，t22t3)， 则点Q的坐标为(t4，t22t3)或(t4，t2 2t3)， 当点Q的坐标为(t4，t22t3)时， 则t22t3(t4)22(t4)3，解得t 2. t22t34435. P(2,5)，Q(2,5) 当点Q的坐标为(t4，t22t3)时， 则t22t3(t4)22(t4)3，解得t2. t22t34433. P(2，3)，Q(2，3) 综上可知存在满足条件的点P，Q，其坐标为 P(2,5)，Q(2,5)或P(2，3)，Q(2，3) 方法总结 常考类型：(1)求抛物线解析式，一般 用待定系数法；(2)求抛物线与x轴的交点坐标、 顶点坐标、最值、对称轴等，经常利用抛物线的 性质；(3)判定特殊三角形或特殊四边形，一般先 从题中找出相应的边角关系；(4)探究及存在性问 题，多采用分类讨论 训练 2.(2017贵阳)我们知道，经过原点的抛 物线可以用yax2bx(a0)表示，对于这样的抛 物线： (1)当抛物线经过点(2,0)和(1,3)时，求抛 物线的表达式； (2)当抛物线的顶点在直线y2x上时，求b 的值； (3)这组抛物线的顶点A1，A2，An在直线y 2x上，由(2)可知，b4或b0. 当b0时，抛物线的顶点在坐标原点，不 合题意，舍去；当b4时，抛物线的表达式 为yax24x. 由题意可知，第n条抛物线的顶点为 An( n,2n)，则Dn(3n,2n) 以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn， 当n5时，k4，nk9； 当n10时，k8，nk1812(舍去)， D5(15,10)正方形的边长是10. 命题点 二次函数的综合 1(2017)已知抛物线C1： yax24ax5 (a0) (1)当a1时，求抛物线与 x轴的交点坐标及对称轴； 过 中 考 (2)试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过 两个定点，并求出这两个定点的坐标； 将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折， 得到抛物线C2，直接写出C2的表达式； (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2， 求a的值 解：(1)当a1时，抛物线C1：yx24x5. 令y0，则x24x50.解得x11，x2 5. 抛物线C1与x轴的交点坐标为(1,0)，(5,0) ，对称轴为x2. (1)求a的值； (2)直接写出线段AnBn，BnBn1的长；(用含n 的式子表示) (3)在系列RtAnBnBn1中，探究下列问题： 当n为何值时，RtAnBnBn1是等腰直角三 角形？ 设1kmn (k，m均为为正整数)，问：是否 存在RtAkBkBk1与RtAmBmBm1相似？若存 在，求出其相似比；若不存在，说明理由 3(2015)如图5，已知二次 函数L1：yax22axa3 (a 0)和二次函数L2：ya(x 1)21 (a0)图象的顶点分别为 M，N，与y轴分别交于点E，F. (1)函数yax22axa3 (a0)的最小值为 _，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大 而减小时，x的取值范围是_； (2)当EFMN时，求a的值，并判断四边形 ENFM的形状；(直接写出，不必证明) (3)若二次函数L2的图象与x轴的右交点为 A(m,0)，当AMN为等腰三角形时，求方程 a(x1)210的解 3 1x1 解：(1)【提示】二次函数L1：yax22ax a3a(x1)23，顶点M坐标为(1,3)a 0，函数yax22axa3(a0)的最小值为 3.二次函数L1的对称轴为x1，当x1时，y随x 的增大而减小；二次函数L2：ya(x1)21的 对称轴为x1，当x1时，y随x的增大而减 小当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大 而减小时，x的取值范围是1x1. 【提示】如答图3，作MGy轴 于G，则MG1，作NHy轴于H ，连接ME，NF，则NH1， MGNH1.EGa33a ，FH1(a1)a，EG FH. 如答图5，当MANA时， 过点M作MGx轴，垂足为G， 则有OG1，MG3，GA|m1|， 在RtMGA中，MA2MG2GA2. 即MA232(m1)2. 又NA2(m1)212， (m1)21232(m1)2， 解得m2. A(2,0) 则抛物线ya(x1)21(a0)的左交点坐 标为(4,0)，方程a(x1)210的解为x1 2，x24. 4(2012)如图6，已知二次函 数L1：yx24x3与x轴交于A ，B两点(点A在点B的左边)，与y 轴交于点C (1)写出A，B两点的坐标； (2)二次函数L2：ykx24kx 3k (k0)，顶点为P. 直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象 的两条相同的性质； 是否存在实数k，使ABP为等边三角形？ 如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理 由； 若直线y8k与抛物线L2交于E，F两点，问 线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求 出EF的长度；如果会，请说明理由 解：(1)当y0时，x24x30，解得x11 ，x23. 即A(1,0)，B(3,0) (2)二次函数L2与L1有关图象的两条相同的 性质： ()对称轴都为直线x2或顶点的横坐标都为 2； ()都经过A(1,0)，B(3,0) 两点 存在实数k，使ABP为 等边三角形 如答图6， ykx24kx3kk(x 2)2k， 顶点P(2，k) kx24kx3k8k. k0，x24x38，解得x11，x2 5. EFx2x16. 线段EF的长度不会发生变化，EF6. 谢谢观看 Exit