高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 两个向量的数量积学案 新人教B版选修2-1

3.1.3两个向量的数量积1掌握空间向量的夹角与长度的概念2掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)基础·初探教材整理1空间向量的夹角阅读教材P85P86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题1夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作a，b，则角AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b图3­1­202夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，特别地，当0时，两向量同向共线；当_时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或；当a，b时，两向量_，记作_【答案】垂直ab判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)a，b与(a，b)都表示直角坐标系下的点()(2)在ABC中，B.()(3)在正方体ABCD­ABCD中，与的夹角为45°.()【答案】(1)×(2)×(3)教材整理2空间向量的数量积及其性质阅读教材P86“两个向量的数量积”P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题1已知空间中两个非零向量a，b，则_叫做a，b的数量积，记作_规定：零向量与任何向量的数量积为_，即0·a_.【答案】|a|b|cosa，ba·b002空间向量数量积满足下列运算律(1)(a)·b(a·b)；(2)交换律：a·bb·a；(3)分配律：(ab)·c_.【答案】a·bb·c3空间向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)e·aa·e|a| cos ；(2)aba·b0；(3)a·a|a|2或|a|_；(4)若为a，b的夹角，则cos ；(5)|a·b|a|·|b|.【答案】下列式子中正确的是()A|a|aa2B(a·b)2a2b2Ca(a·b)b·a2 D|a·b|a|b|【解析】根据数量积的定义知，A，B，C均不正确故选D.【答案】D质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型空间向量数量积的运算(1)如图3­1­21，三棱锥P­ABC中，PA平面ABC，ABC90°，PAAC，则在向量，中，夹角为90°的共有()图3­1­21A6对B5对C4对 D3对(2)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·_.图3­1­22(3)如图3­1­22所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求下列数量积：·_；·_.【自主解答】(1)与，与，与，与，与夹角为90°.(2)····a2cos 60°a2.(3)·1×cos 135°1；··()··0.【答案】(1)B(2)a2(3)101求两向量数量积的解题思路(1)解模：解出两向量的模(2)求夹角：根据向量的方向求出两向量的夹角(3)求结果：使用公式a·b|a|b|cosa，b得结果2数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能再练一题1已知空间向量a，b满足|a|4，|b|8，a与b的夹角为150°，求下列各式的值(1)a·b；(2)(a2b)·(2a3b)【解】(1)a·b|a|b|cosa，b4×8×cos 150°4×8×16.(2)(a2b)·(2a3b)2a2a·b6b22|a|2|a|b|cos 150°6|b|22×42166×8235216.求两个空间向量的夹角如图3­1­23，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求1与夹角的大小图3­1­23【精彩点拨】(1)怎样用向量，1表示向量1与？(2)求两向量的夹角公式是怎样的？【自主解答】不妨设正方体的棱长为1，1·(1)·()(1)·()·21·1·020021，又|1|，|，cos ，.0°1，180°，1，60°.1与夹角的大小为60 °.1由于向量的夹角的取值范围为0，而异面直线所成的角的取值范围为，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系当a，b 时，它们相等；而当a，b 时，它们互补2利用数量积求异面直线所成角的余弦值的步骤(1)取向量；(2)求向量夹角余弦cos a，b；(3)定结果cos |cosa，b|.再练一题2.如图3­1­24，已知直三棱柱ABC­ABC中，ACBCAA，ACB90°，D，E分别为AB，BB的中点图3­1­24(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值【解】(1)证明：设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且a·bb·cc·a0.bc，cba.·c2b20，即CEAD.(2)ac，|a|，|a|，·(ac)·c2|a|2，cos，.异面直线CE与AC所成角的余弦值为.探究共研型利用数量积求距离探究1已知A(1,2,1)，B(2,0,2)，求|的值【提示】(1，2,1)，|.探究2求两点间距离或线段的长度的方法【提示】利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|a·a求解即可平行四边形ABCD中，AB2AC2且ACD90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求点B，D间的距离图3­1­25【精彩点拨】(1)由已知可以得出AC与CD，AC与AB垂直吗？(2)根据AB与CD成60°角可建立什么方程？能直接求出|吗？【自主解答】由已知得ACCD，ACAB，折叠后AB与CD所成角为60°，于是，·0，·0，且，60°或120°.|2()22222·2·2·2212222×2×2cos，故|213或5，解得|或，即B，D间的距离为或.1利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算2用数量积求两点间距离的步骤(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离再练一题3.如图3­1­26所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离图3­1­26【解】()()()，所以2222××·2××·2××·2.|，即E，F间的距离为.构建·体系1已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为()A6B6C3 D3【解析】由题意可得a·b0，e1·e20，|e1|e2|1，(2e13e2)·(ke14e2)0，2k120，k6.【答案】B2在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为()A. BC D0【解析】··()··|cosAOC|·|cosAOB|0，.cos，0.【答案】D3在空间四边形ABCD中，···_. 【导学号：15460065】【解析】原式···()·()·()··0.【答案】04.如图3­1­27，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|_，|_，与所成的角为_图3­1­27【解析】|2；，·2×2×cos 60°2，故|222·242×43.故|.又因为()，故··()(··)0，因为，0°，180°，所以，90°.【答案】290°5.如图3­1­28，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，c.图3­1­28(1)试用a，b，c表示向量；(2)若BAC90°，BAA1CAA160°，ABACAA11，求MN的长【解】(1)(ca)a(ba)abc.(2)(abc)2a2b2c22a·b2b·c2a·c11102×1×1×2×1×1×5，|abc|，|abc|，即MN.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_