高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 两个向量的数量积学案 新人教B版选修2-1

1、3.1.3两个向量的数量积1掌握空间向量的夹角与长度的概念2掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)基础初探教材整理1空间向量的夹角阅读教材P85P86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题1夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作a，b，则角AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b图31202夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，特别地，当0时，两向量同向共线；当_时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或；当a，b时，两向量_，记作_【答案】垂直ab判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)a，b与(a，b)都表示直角坐标系下的点()(2)在ABC中，B.()(3)在正方体ABCDABCD中，与的夹角为45.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2空间向量的数量积及其性质阅读教材P86“两个向量的数量积”P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题1已知空间中两个非零向量a，b，则_叫做a，b的数量积，记作_规定：零向量与任何向量的数量积为_，即0a_.【答案】|a|b|cosa，bab002空间

2、向量数量积满足下列运算律(1)(a)b(ab)；(2)交换律：abba；(3)分配律：(ab)c_.【答案】abbc3空间向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)eaae|a| cos ；(2)abab0；(3)aa|a|2或|a|_；(4)若为a，b的夹角，则cos ；(5)|ab|a|b|.【答案】下列式子中正确的是()A|a|aa2B(ab)2a2b2Ca(ab)ba2 D|ab|a|b|【解析】根据数量积的定义知，A，B，C均不正确故选D.【答案】D质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型空间向量数量积的运算(1)如图3121，三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC90，PAAC，则在向量，中，夹角为90的共有()图3121A6对B5对C4对 D3对(2)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则_.图3122(3)如图3122所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求下列数量积：_；_.【

3、自主解答】(1)与，与，与，与，与夹角为90.(2)a2cos 60a2.(3)1cos 1351；()0.【答案】(1)B(2)a2(3)101求两向量数量积的解题思路(1)解模：解出两向量的模(2)求夹角：根据向量的方向求出两向量的夹角(3)求结果：使用公式ab|a|b|cosa，b得结果2数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能再练一题1已知空间向量a，b满足|a|4，|b|8，a与b的夹角为150，求下列各式的值(1)ab；(2)(a2b)(2a3b)【解】(1)ab|a|b|cosa，b48cos 1504816.(2)(a2b)(2a3b)2a2ab6b22|a|2|a|b|cos 1506|b|22421668235216.求两个空间向量的夹角如图3123，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求1与夹角的大小图3123【精彩点拨】(1)怎样用向量，1表示向量1与？(2)求两向量的夹角公式是怎样的？【自主解答】不妨设正方体的棱长为1，1(1)()(1)()211020021，又|1|，|，cos ，.01，180，1，60.1与夹角的大小为60 .1由于向量的夹角的取

4、值范围为0，而异面直线所成的角的取值范围为，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系当a，b 时，它们相等；而当a，b 时，它们互补2利用数量积求异面直线所成角的余弦值的步骤(1)取向量；(2)求向量夹角余弦cos a，b；(3)定结果cos |cosa，b|.再练一题2.如图3124，已知直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点图3124(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值【解】(1)证明：设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且abbcca0.bc，cba.c2b20，即CEAD.(2)ac，|a|，|a|，(ac)c2|a|2，cos，.异面直线CE与AC所成角的余弦值为.探究共研型利用数量积求距离探究1已知A(1,2,1)，B(2,0,2)，求|的值【提示】(1，2,1)，|.探究2求两点间距离或线段的长度的方法【提示】利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们

5、的模，利用公式|a|aa求解即可平行四边形ABCD中，AB2AC2且ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求点B，D间的距离图3125【精彩点拨】(1)由已知可以得出AC与CD，AC与AB垂直吗？(2)根据AB与CD成60角可建立什么方程？能直接求出|吗？【自主解答】由已知得ACCD，ACAB，折叠后AB与CD所成角为60，于是，0，0，且，60或120.|2()2222222221222222cos，故|213或5，解得|或，即B，D间的距离为或.1利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算2用数量积求两点间距离的步骤(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式aa|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离再练一题3.如图3126所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离图3126【解】()()()，所以2222222.|，即E，F间的距离为.构建体系1已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，

6、bke14e2，ab，则实数k的值为()A6B6C3 D3【解析】由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，(2e13e2)(ke14e2)0，2k120，k6.【答案】B2在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为()A. BC D0【解析】()|cosAOC|cosAOB|0，.cos，0.【答案】D3在空间四边形ABCD中，_. 【导学号：15460065】【解析】原式()()()0.【答案】04.如图3127，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|_，|_，与所成的角为_图3127【解析】|2；，22cos 602，故|22224243.故|.又因为()，故()()0，因为，0，180，所以，90.【答案】2905.如图3128，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，c.图3128(1)试用a，b，c表示向量；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长【解】(1)(ca)a(ba)abc.(2)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac11102112115，|abc|，|abc|，即MN.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_

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