九年级上册数学 人教版 垂径定理

1 垂径定理垂径定理 学生学生学校学校年级年级九年级九年级次数次数 科目科目数 学数 学教师教师日期日期时段时段 课题课题垂径定理垂径定理 教学教学 重点重点 掌握圆的相关概念 垂径定理 教学教学 难点难点 垂径定理及其推论的应用。 教学教学 目标目标 熟练掌握弧、 弦、 圆心角、 圆周角直接的关系及圆心角、 圆周角定理及相关推论；理解并能灵活运用弧、 弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。 教教 学学 步步 骤骤 及及 教教 学学 内内 容容 一、错题回顾一、错题回顾 二、内容讲解二、内容讲解 1、与圆有关的基本概念 圆中相关概念的结构示意图 圆周角的定义 顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫做圆周角. 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于该弧所对的圆 心角的 . 1.直径（或半圆）所对的圆周角是 . 2.900的圆周角所对的弦是 . 3.圆的内接多边形，多边形的内接圆。 圆内接四边形的对角 。 例题：如图，AB 是O的直径，AB=AC，D、E在O上求证：BD=DE 2、垂径定理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 符号语言：CD 为O的直径，AB为O的弦 三、课堂总结与反思：三、课堂总结与反思： 2 管理人员签字： 日期： 年 月 日管理人员签字： 日期： 年 月 日 1 1、错题回顾错题回顾 1、已知抛物线过A（-4，m）和B（8，m），求对称轴的直线方程 。 2、已知抛物线与 x轴的一个交点为（-3，0），对称轴为直线 x=1，求抛物线与 x轴的另一 个交点坐标 。 3、 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出 200件，如果每件商品的售 价上涨 1 元，则每个月少买 10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨 x元 （x 为正整数），每个月的销售利润为y元。 （1）求 与 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围。 （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是多少元。 4、 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排 7 天,每天安排 4场比赛,比赛组织者应邀请 队参加。 3 课题：垂径定理课题：垂径定理 圆中相关概念的结构示意图圆中相关概念的结构示意图 圆 等圆大小半径 同心圆位置圆心 相关概念 圆周角 圆心角 等弧半圆、优弧、劣弧弧 直径弦 例例 1 1、如图，圆中弦的条数为（ ） A2 条 B3条 C4条 D5 条 例例 2 2、判断题 （1）直径是弦 （ ） （2）弦是直径 （ ） （3）半圆是弧 （ ） （4）弧是半圆 （ ） （5）长度相等的两段弧是等弧（ ） （6）等弧的长度相等 （ ） 知识点一：垂径定理知识点一：垂径定理 圆的轴对称性：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。 垂径定理垂径定理 平分弦所对的两条弧。）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径 对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径 垂径定理包含两个条件和三个结论，即 条件 ）直线和弦垂直，（ ）直线过圆心，（ 2 1 结论 弧。）直线平分弦所对的优（ 弧，）直线平分弦所对的劣（ ）直线平分弦，（ 5 4 3 符号语言： ABCD O,O ， 的弦，为圆的直径是圆ABCD BDAD BCAC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。 推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。 相关概念：相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。 应用链接：应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造RtOAE）。 概念辨析题：概念辨析题： C D AB O E A BE C OD 4 1下面四个命题中正确的一个是（ ） A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆 的圆心 2下列命题中，正确的是（ ） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心 C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧 3、如图2，Oe中，AB 是直径，CDAB于 P， （1）已知半径是 5，CD=8，求 OP （2）已知OP=5，CD=24，求半径 （3）已知半径是 10，OP=6，求CD 4、如图3，Oe中，半径 OD弦AB 于 C， （1）已知半径是 5，AB=8，求 CD （2）已知CD=4，AB=16，求半径 典型例题分析：典型例题分析： 例题例题1、在直径为 52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最 大深度为16cm，那么油面宽度AB是_cm. 5 说明：本题主要考查垂径定理易错点是忘记油面宽度说明：本题主要考查垂径定理易错点是忘记油面宽度AB是是DB的的 2倍倍 例题例题2、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为_ _cm. 说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形 数形结合解决问题；作辅助线的能力数形结合解决问题；作辅助线的能力 例题例题3、 已知：在O中，弦cm12AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆 的半径. 说明：作出弦说明：作出弦)(AB的弦心距的弦心距)(OE，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键. 例题例题 4、如图，已知在O中，弦CDAB，且CDAB，垂足为H，ABOE于E，CDOF 于F. （1）求证：四边形OEHF是正方形. （2）若3CH，9DH，求圆心O到弦AB和CD的距离. 知识点二：弦、弧、圆心角知识点二：弦、弧、圆心角 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的 弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3 定理，即上述四个结论中， F E D C B A O 6 C B A O 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3 个结论， 即：AOBDOE；ABDE=； OCOF=； 弧BA=弧 例例 1 1、如图 1，在O 中，点 C是弧AB 的中点，A=50°，则BOC 等于（ ） 图图1 1 图图2 2 练习：1、如图2,A、B、C为O 上三点，若OAB=46°,则ACB=_度。 2、下列说法正确的是 （A）两个半圆是等弧 （B）同圆中优弧与半圆的差必为劣弧 （C）同圆中优弧与劣弧的差必为劣弧 （D）由弦和弧组成的图形叫弓形 3、如图，AB、CE是O 的直径，COD=60°，且弧AD=弧BC，那么与 AOE相等的角有_个，与AOC相等的角有_ 4、如图，AB、CD是O的两条弦，M、N分别为AB、CD的中点，且AMN=CNM，AB=6，则 CD=_ 5、如果两条弦相等，那么（ ） A这两条弦所对的弧相等 B这两条弦所对的圆心角相等 C这两条弦的弦心距相等 D以上答案都不对 6、如图，在圆O中，直径 MNAB，垂足为 C，则下列结论中错误的是（ ） AAC=BC B弧AN=弧BN C弧AM=弧 BM DOC=CN 7、在O 中，圆心角AOB=90°，点O到弦 AB的距离为4，则O的直径的长为（ ） A4 2 B82 C24 D16 8、如图，AB是O的直径，CD 为弦，CDAB 于E，则下列结论中不一定成立 7 的是（ ） ACOE=DOE BCE=DE COE=BE D弧BD=弧BC 知识点三：圆周角知识点三：圆周角 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧 是半圆，所对的弦是直径。 即：在O中，AB是直径 或90C 90C AB是直径 1.下面图形中的角，是圆周角的是（ ） 2.如图 3，在O中，ABC=50°，则AOC等于（ ） 图 3 图4 图5 3.如图 4，量角器外沿上有 A,B 两点，它们的读数分别是 70°，40°，则1 的度数为 。 4.如图 5，AB是O 的直径，若BAC=35°，则ADC= . 5.如图 6，A、D、B、C分别在O 上，CD 是O的直径，BCD45°，则BAC_ 6.如图 7，AB是O 的直径，CD是弦，若BCD40°，则AOD_ D C B A O C BA O 8 D C B A O 7.如图 8，A、B、C为O 上的三点，若C40°，则OAB_ 图 6 图7 图8 图9 8.如图 9，A、B、C 为O上的三点，ABO65°，则BCA（ ） A. 25° B. 32.5° C. 30° D 45° 每日难题每日难题 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为 _cm 预习作业（预习圆的内接四边形的相关内容，并完成下面的题目）预习作业（预习圆的内接四边形的相关内容，并完成下面的题目） 如右图,等边三角形 ABC的三个顶点都在O 上,D 是AC上任一点(不与 A、C 重合),则ADC 的 度数是_. 随堂检测：随堂检测： 1（5 分）下列命题中错误的有（ ） 9 （1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦 （3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径 A1个B2个C3个 D4 个 2、（5 分）O的直径为 10，弦AB 的长为 8，M是弦AB 上的动点，则 OM 的长的取值范 围是（ ） （A）5OM3 （B）5OM4 （C）5OM3 （D）5OM4 3（5 分）如图，如果AB为O直径，弦ABCD，垂足为E，那么下列结 论中错误的 是（ ） ADECE B C D 4（5 分）如图，AB是O直径，CD是O的弦，CDAB于E，则图中不大 于半圆的相等弧有（ ）对。 A1对B2对C3对 D4 对 5（5 分）如图，O 的直径CDAB，垂足为点 E，若 8, 2EDCE ，则AB （ ） A2 B4 C8 D16 6（5 分）过O 内一点M 的最长的弦长为4cm，最短的弦长为2cm， 则 OM 的长为（ ） A3c