定点数乘除运算及实现

定点乘法运算可采用： 原码进行，又有原 码一位乘法和原码两位乘法。 补码进行，也有补码一位乘法和补码两位乘法 阵列乘法器来实现。,2.3 定点乘 除法运算及其实现 定点乘法运算及其实现, 原码一位乘法 运算规则： 被乘数: X原 f .n110 乘 数: Y原 f .n110 则积: X*Y原 =( X Y ) +( X * Y ) 式中： X为被乘数符号, Y为乘数符号。,1 原码乘法,乘积符号的运算法则是：“异或”(按位加)运算得到。 数值部分的运算方法与普通的十进制小数乘法类似。 下面通过一个具体例子从来说明：,例：设A0.1101,B0.1011，则AB的手工运算过程为：,将多数一次相加，机器难以实现。一般的加法器，只能 把两个输入数相加，多个位积的同时输入是无法实现的,机器字长（即加法器）只有n位，而乘积位数增长了一倍， 即2n,问题：,解决方案: (a) 把一次求和的操作，变成逐步累加求部分积的操作 (b) 将求积过程中左移位积的操作，改为位积不动，而是上次部分积右移的 操作,手工运算过程,计算机内运算的实现方法,例 已知: X0101，Y0 110，用原码一位乘法求X Y 原？,X原1 101,Y原1 110, X Y 原 + (0 101) ×(0 110), 则（0 101) ×(0 110)的过程为：,0 0 0 0,0,0 0 0 0,0 0 0 0,X,0 1 0 1,0 1 0 1 0,0 0 0 0 0,0 0 1 0 1 0,X,0 1 0 1,0 1 1 1 1 0,0 0 1 1 1 1 0,解：用原码一位乘法实现X Y过程为：,所以：X Y 原 0+ 00111100011110,例： 已知X=+01101，Y=-01011，求Z=X·Y。 解： X原=01101 【Y】原=11011 X Y 原 01+ (01101) ×(0 1011) 则(01101) ×(0 1011)的过程为：,所以： X Y 原 Z原=1+0.10001111110001111 Z= 010001111,原码一位乘法的乘法器结构框图如图：所示：,原码一位乘法的乘法器工作原理： 乘法开始时，“启动”信号使控制触发器Cx置“1”，于是开启时序脉冲T。 当乘数寄存器R1最末位为“1”时，部分积Zi和被乘数X在加法器中相加， 其结果输出至R0的输入端。 一旦打入控制脉冲T到来，控制信号LDR0使部分积右移一位，与此同时，R1也在控制信号LDR1作用下右移一位，且计数器i计数一次。 当计数器i=n时，计数器的溢出信号使触发器Cx置“0”，关闭时序脉冲T， 乘法宣告结束。,原码两位乘法：基本原理类似：只是从最低位开始，每次 取两位乘数与被乘数相乘，得到一次部分 积，与上次部分积相加后右移2。有关原 码两位乘法具体操作过程不再 详细讨论,补码乘法 补码一位乘法, 补码与真值的关系：,证明：,当 Y 0时， Y 0=0,则真值Y （0） 0Y1 Y2 Yn,当 Y 0时， Y 0=1,依补码的定义：,例 已知: N补 1 1101,N补10011,求N补,N补具有 的数值,N补 1 1101 具有的数值为：,解：,N1×201×211×220×231×24,N补10011 具有的数值为：,N1×240×230×221×211×20(13)10, (0.1875)10,由补码与真值转换公式真值:,Y=（0 ),= -Y0*20 + Y1*2-1 + Y2*2-2 + + Y n*2-n,= -Y0*20 + (Y1*20-Y1*2-1) + (Y2*2-1 -Y2*2-2) + +,= (Y1-Y0)*20,+ + (Yn+1-Yn)*2-n,+ (Y2-Y1)*2-1,在最后1位后再补1位,=,例 已知: N补 0 . 1101,N补1 . 0011, 求N补,N补具有 的数值。,解: N补0 . 1101 具有的数值为： N(10)×2-0(1-1)×2-1(0-1)×2-2(1-0)×2-3 (0-1)×2-4 13/16 N补 1.0011 具有的数值为 N(01)×2-0(0-0)×2-1(1-0)×2-2(1-1)×2-3 (0-1)×2-4 13/16, 补码乘法公式：,X · Y补 = X补· Y补,= X补·Y,证明过程：,略,由补码乘法公式及补码与真值的关系得：,X · Y补 =,X补Y,=,X补,【(Y1Y0)20(Y2-Y1)2 -1 (Yn+1Yn) 2-n】,=,X补,上式中Yn+1Yn 只有4中情况：,00 0 01 1 10 1 11 0,下面通过例子来熟悉补码一位乘法的操作过程：,+ 0 + - X补 + X补 + 0,例 已知: X0101，Y0 110，用补码一位乘法求（X Y）补,解：用补码实现X Y过程为： ,X补1 011,Y补1 010, Y补 1 0100, 则用补码一位乘法的过程为：,0 0 0 0,0,0 0 0 0,0 0 0 0,X补,0 1 0 1,0 1 0 1 0,0 0 0 0 0,0 0 1 0 1 0,X补,1 0 1 1,1 1 0 1 1 0,1 1 1 0 1 1 0,X补0 101,X补,0 1 0 1,0 0 1 1 1 1 0,X Y 补 0. 011110,所以：,实现补码一位乘法的乘法器的逻辑框图如图所示,补码两位乘法：是把补码的一位乘法的两个单步操作和并成一个操作。 即：,【 （Z i+2）补】=,2-2 【 Z i补】+ (Yn+1 +Yn2Y n1) 】 · 【X 】补,3 阵列乘法器,例：4×4位不带符号的阵列乘法器逻辑图：,2.3.2 定点除法运算及其实现 除法运算可采用： 原码进行，又有恢复余数法和不恢复余数法 补码进行，采用加减交替法 阵列除法器 1. 原码除法运算：是指用原码表示两数相除，求出原码表示的商 运算规则：设有n位定点小数(定点整数也同样适用)： 被除数：原f .n110 除数： 原f .n110 则有商q其原码为： q原(ff)+(0.n110/0.n110),原码除法中据对余数的处理不同，又可分为：恢复余数法和加减交替法,例：X=0.1001，Y=0.1101，手算X/Y的过程为：,恢复余数法的计算过程和手算相似：, 原码恢复余数法,解：符号位为：,1,数码的手算过程为：,最后：,余数：R0.000124,商：Q0.1011,(1) 每次都是由心算来比较余数和除数的大小，余数大时，商1； 余数小时，商0。第一次比较时，余数就是被除数。 (2) 每做一次减法，总是保持余数不动，而除数向右移一位。 (3)最后据符号位运算的结果给商以正确的符号,对上述手算计算过程分析得：,为适应机器运算，需要进行改进： （1） 用减法来比较余数和除数的大小 （2） 除数右移改为余数左移。 (3)定点除法运算必须要求被除数的高n位小于除数，否则益处,下面就通过例子讲一下原码恢复余数法的在计算机的操作过程：,例：X=0.1001，Y=0.1101，用原码恢复余数法求X/Y？,解：, 0.1001/ 0.1101用原码恢复余数的过程为：,/y原,011,(ff)+ | x| / | y|,符号：QS,| x| 补,| Y| 补,| Y| 补,0.1001,0.1101,1.0011,余数0,商1即q3=1,所以0.1001/ 0.1101用原码恢复余数的过程为：,0. 1 0 0 1, y ,+| y| 补,1. 0 0 1 1,1. 1 1 0 0,余数0,商即q0=0, y ,0. 1 1 0 1,0. 1 0 0 1,左移1位,1. 0 0 1 0, Y ,1. 0 0 1 1,+| y| 补,0. 0 1 0 1,余数0,商1即q1=1,左移1位,0. 1 0 1 0,- | Y|,+| y| 补,1. 0 0 1 1,1. 1 1 0 1,余数0,商0即q2=0, y ,0. 1 1 0 1,0. 1 0 1 0,左移1位,1. 0 1 0 0, y ,+| y| 补,1. 0 0 1 1,0. 0 1 1 1,左移1位,0. 1 1 1 0,+| y| 补,1. 0 0 1 1,0. 0 0 0 1,余数0,商1即q4=1,所以：商：Q0.1011, 余数：R0.000124,用原码恢复余数法：求| X | / | Y |的解题步骤： y*= Y 先将被除数/余数减去除数得新余数Ri 若Ri0：商“1”，再将Ri左移一位后减除数(即 2Riy*)，得新余数Ri 若Ri0：商“0”,先将Riy*，即完成恢复余数的运算，再对Ri y*左 移 一 位后减除数，即2(Ri y*)- y* ，得新的余数Ri 再将上述过程重复n（除数位数）次，共上n位商 最后所得的商和余数即为| X | / | Y | 的商及余数,分析原码恢复余数法得知： 当余数 Ri0时，商“1”，再对Ri左移一位后减除数，即2Riy* 当余数 Ri0时，商“ 0”，先将Ri+y*，再2(Ri+y*)- y*，也即2Ri+y*。,原码恢复余数法可归纳为： 当余数Ri0时,商“1”，做2Riy*运算 当余数 Ri0时，商“ 0”，做2(Ri +y*) -y*运算,用原码加减交替法：求| X | / | Y |的解题步骤： 先将余数减去除数得新余数Ri 若Ri0：商“1”，做2Riy*运算 若Ri0：商“0”, 做2Ri+y*运算 再将上述过程重复n（除数位数）次，共上n位商 最后所得的商和余数即为| X | / | Y | 的商及余数, 原码不恢复余数法（加减交替法）,原码加减法可归纳为： 当余数Ri0时,商“1”，做2Riy*运算 当余数 Ri0时，商“ 0”，做2Ri +y*运算,例： 已知: X0101，Y0 110求：【x/y】原？用不恢复余数法解。,X /Y 原 0+ (0 101) ÷(0 110),X 原 1101,Y 原 0 110,-Y 补 1 10,则（