江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷
<p>江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1若，其中a、bR，i是虚数单位，则= 2已知集合，集合，集合，则 3某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为 4某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是 5以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 6如图所示，设P、Q为ABC内的两点，且， =+,则ABP的面积与ABQ的面积之比为 （第6题）7执行如图所示的程序框图，若输出的的值为31，则图中判断框内处应填的整数为 8在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，则四面体的外接球半径 9若是与的等比中项，则的最大值为 10空间直角坐标系中，点，则A、B两点间距离的最大值为 11下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915 请将错误的一个改正为 = 12如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则ABC的边长是 13已知为直线上一动点，若在上存在一点使成立，则点的横坐标取值范围为 14若方程没有实数根，那么实数的取值范围是 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分15分）已知函数，其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点（）求、的值；（）在ABC中a、b、c分别是角A、B、C的对边，角C为锐角且满足，求c的值16（本小题满分15分）如图，已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M 、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN（）求证：平面ABCD平面ADE；（）求证： MN/平面BCF； （）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值17（本小题满分14分）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元（）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；（）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？ 18（本小题满分15分）如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。（）若PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。 19（本小题满分15分）设常数，函数.（）令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；（）求证：在上是增函数；（）求证：当时，恒有20（本小题满分16分）定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”。已知数列 中，点在函数的图像上，其中为正整数。（）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列。（）设（）中“平方递推数列”的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式。（）记，求数列的前项之和，并求使的的最小值。2013届高三数学综合检测卷参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分12 32145674 891011121314二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15（本小题满分14分）解：（）. （2分） 最高点与相邻对称中心的距离为，则，即， （3分）， （4分） 又过点，即，. （5分），. （6分）16（本小题满分15分）解：（1）四边形CFED与ABFE都是正方形又, 平面，-2分又，平面平面ABCD，平面ABCD平面ADE-4分（2）证法一：过点M作交BF于，过点N作交BF于，连结,-5分又 -7分四边形为平行四边形，-8分-10分法二：过点M作交EF于G，连结NG，则-6分，-7分同理可证得，又, 平面MNG/平面BCF-9分MN平面MNG, -10分（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，-11分在AEN中，由余弦定理得，-13分 即-14分17（本小题满分14分）解：（）即（）；-7分（不注明定义域不扣分，或将定义域写成也行）由均值不等式得：（）（万元）-11分 当且仅当，即时取到等号-13分答：该企业10年后需要重新更换新设备-14分18（本小题满分15分）解：建立如图所示的直角坐标系，O的方程为，直线L的方程为。（）PAB=30°，点P的坐标为，。将x=4代入，得。MN的中点坐标为（4，0），MN=。以MN为直径的圆的方程为。同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是。（）设点P的坐标为，（），。，将x=4代入，得， 。，MN=。MN的中点坐标为。以MN为直径的圆截x轴的线段长度为为定值。必过O 内定点。19（本小题满分15分）解（）， ， 2分，令，得， 4分列表如下：20极小值在处取得极小值，即的最小值为 6分，又， 8分证明（）由（）知，的最小值是正数，对一切，恒有， 10分从而当时，恒有， 11分故在上是增函数 12分证明（）由（）知：在上是增函数， 当时， 13分 又， 14分，即， 故当时，恒有 15分20（本小题满分16分）（）由条件an12an22an， 得2an114an24an1(2an1)2bn是“平方递推数列”lgbn12lgbnlg(2a11)lg50，2lg(2an1)为等比数列（）lg(2a11)lg5，lg(2an1)2n1×lg5，2an15，an(51)lgTnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg5Tn5（3）cn2，Sn2n12n2n212n22由Sn2008得2n222008，n1005，当n1004时，n1005，当n1005时，n1005，n的最小值为10058</p>
