2019届高三文科数学上册第一学期月考（二）数学（文）试卷（含答案和解析）

湖南师大附中2019届高三月考试卷(二)数学(文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共10页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合Mx2x30，Nx|2x2，则MN( C )A1，3 B(，1) C1，1) D(1，3 【解析】M1，3，N(，1)，故MN1，1)故选C.2若2i2aib4i，其中a，bR，i为虚数单位，则ab( D )A. 2 B1 C0 D2【解析】由复数相等得：a4，b2，ab2，故选D.3已知下面四个命题：“若x2x0，则x0或x1”的逆否命题为“若x0且x1，则x2x0”“x1”是“x23x20”的充分不必要条件 命题p：存在x0R，使得xx010，则非p：任意xR，都有x2x10若p且q为假命题，则p，q均为假命题其中真命题个数为( C )A1 B2 C3 D4【解析】由题可知，正确，正确，特称命题的否定为全称命题，所以显然正确；若p且q为假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以的推断不正确. 故选C.4设正项等比数列的前n项的和为Sn，且<1，若a3a510，a1·a716，则S4( B )A60或 B60 C. D120【解析】由等比数列是单调递减数列，得q，所以a132，S460 ，故选B.5如图所示，在三棱锥DABC中，已知ACBCCD2，CD平面ABC，ACB90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( D )A. B2C. D.【解析】由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一条直角边是CD，另一条直角边为ABC的边AB上的中线，所以其侧视图面积为S×2×，故选答案D.6已知平面上不重合的四点P、A、B、C满足0，且x0，那么实数x的值为( B )A2 B3 C4 D5【解析】由题可知，根据向量的减法有，于是有()()x，故(x2)0，又因为0，所以x21，即x3.故选B.7在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若<cos A，则ABC为( A )A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形【解析】根据定理：<cos A，那么sin Csin Bcos A，根据ABC，所以sin Csin(AB)，所以sin(AB)<sin Bcos A，整理为：sin Acos B<0 ，三角形中sin A>0，所以cos B<0，那么<B<.故选A.8某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S的值是2，则判断框内可填写( B ) Ai2015 Bi2016Ci2017 Di2018【解析】由程序框图，初始值S2，i1.循环一次后，S3，i2；循环两次后，S，i3；循环三次后，S，i4；循环四次后，S2，i5；循环五次后，S3，i6；依次类推，S的值呈周期性变化，周期为4.如果i2 015，则循环结束S；如果i2 016，则循环结束S2.因此条件判断框中的条件是“i2 016”. 故选B.9函数fcos x的图象的大致形状是( B )【解析】由题意得，fcos x·cos x，所以f·cos(x)·cos xf(x)，所以函数f为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令x1，则fcos 1cos 1<0，故选B.10椭圆1(ab0)的右焦点F，直线x与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( D )A. (0， B. (0，) C. 1，1) D. ，1)【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|c，因为|PF|ac，ac，所以ac，ac即acc2b2acc2，又e(0，1)，故e，1)，故答案选D.11在体积为的三棱锥SABC中，ABBC2，ABC90°，SASC，且平面SAC平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是( B )A. B. C. D12【解析】ABC外接圆圆心为AC中点D，连接SD，则由平面SAC平面ABC及SASC，知SD平面ABC，且球心O在SD上，则SABC×SD，解得SD2.设三棱锥SABC外接球半径为R，则ROSOB，所以在RtODB中，OB2BD2OD2，即R2()2(2R)2，解得R，故所求球的体积为VR3，故选B.12某同学用“随机模拟方法”计算曲线yln x与直线xe，y0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间1，e上的均匀随机数xi和10个在区间0，1上的均匀随机数yi(iN*，1i10)，其数据如下表的前两行.x2.501.011.901.222.522.171.891.961.362.22y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10ln x0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为( A )A. (e1) B. (e1) C. (e1) D. (e1)【解析】由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为. 因为矩形区域的面积为e1，所以曲边三角形面积的近似值为(e1)，选A.选择题答题卡题号123456789101112答案CDBBDBABBDBA第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共4小题，每小题5分13已知cos()且(，)，则tan()_7_【解析】由已知得，sin ，cos ，tan ，tan()7.14对于实数a和b，定义运算a*b则式子ln e2*的值为_9_【解析】因为a*b而ln e22<3，所以ln e2*3×(21)9.15已知函数f(x)x的图象过点(4，2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2019_1_【解析】由函数f(x)x的图象过点(4，2)得：42，从而f(x)；an，从而S2019()()1.16设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是_，1)_【解析】f(x)<0ex(2x1)<axa，记g(x)ex(2x1)，则题意说明存在唯一的整数x0，使g(x)的图象在直线yaxa下方，g(x)ex(2x1)，当x<时，g(x)<0，当x>时，g(x)>0，因此当x时，g(x)取得极小值也是最小值g()2e，又g(0)1，g(1)e>0，直线yaxa过点(1，0)且斜率为a，故解得a<1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)为增强市民的环保意识，某市政府向社会征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中挑选了100名，按年龄(单位：岁)分为5组：第1组20，25)，第2组25，30)，第3组30，35)，第4组35，40)，第5组40，45，其频率分布直方图如图所示()根据频率分布直方图，估计这100名志愿者的平均年龄；()现指定第3组中某3人，第4组中某2人，第5组中某1人，共6名志愿者参加某项宣传活动活动结束后，从这6人中随机抽取2人介绍经验，求第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率【解析】()在频率分布直方图中，从左至右各小矩形的面积分别是0.05，0.35，0.3，0.2，0.1.(2分)下底边中点值分别是22.5，27.5，32.5，37.5，42.5.(4分)因为22.5×0.0527.5×0.3532.5×0.337.5×0.242.5×0.132.25.由此估计，这100名志愿者的平均年龄为32.25岁(6分)()设“第4组中至少有一名志愿者被抽中”为事件A，记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1.(7分)则从6名志愿者中抽取2名志愿者的取法有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)共有15种(9分)其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名被抽中的取法有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)共有9种(11分)所以P(A)，故第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率为.(12分)18(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，若E、F分别为PC、BD的中点()求三棱锥FDEC的体积；()在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由【解析】()过点P作AD的垂线PH，垂足为H.又侧面PAD底面ABCD，PH平面PAD，侧面PAD底面ABCDAD，PH平面ABCD.连接HC，(2分)E为PC中点，三棱锥EFDC的高hPH，又PAPDAD且AD2，PH1，h，(4分)三棱锥FDCE的体积是VFDCEVEFDCSDFC·h××××.(6分)()在线段CD上存在一点G为CD的中点时，使得平面EFG平面PDC，理由如下：(7分)底面ABCD是边长为2的正方形，CDAD, 又侧面PAD底面ABCD，CD平面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，CD平面PAD，(9分)又EFPA，CDEF，取CD中点G，连接FG，F为AC中点，FGAD，又CDAD，FGCD，又FGEFF，CD平面EFG，(11分)又CD平面PCD，