抛物线的标准方程与几何性质

抛物线标准方程 及几何性质,问题情境,抛物线的生活实例,抛球运动,平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,一、定义,定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。,二、标准方程的推导,步骤：（1）建系（2）设点（3）列式（4）化简（5）证明,想一想？,回忆一下，看看上面的方程哪一种简单， 为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？,学生活动,1、标准方程的推导,K,设KF= p,设点M的坐标为（x，y），,由定义可知，,取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线 为y轴,其中 p 为正常数，它的几何意义是:,焦 点 到 准 线 的 距 离,2、抛物线的标准方程,构建数学,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.,构建数学,准线方程,焦点坐标,标准方程,焦点位置,图 形,三. 四种抛物线及其它们的标准方程,x轴的 正半轴上,x轴的 负半轴上,y轴的 正半轴上,y轴的 负半轴上,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,F(-,-,-,-,想一想:,第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。 第二：一次的系数的正负决定了开口方向,2、如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？,3、我们以前学习的抛物线和现在学习的 抛物线的标准方程有什么联系？,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1)范围 (2)对称性 (3)顶点,类比椭圆、双曲线如何探索抛物线的几何性质？,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,(4)离心率 (5)焦半径 (6)通径,e=1,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；,（2）已知抛物线的方程是y = 6x2,求它的焦点坐标和准线方程；,（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。,数学应用,解:方程可化为: 故焦点坐标 为 ,准线方程为,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是 x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y,练习1,2、已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；,（2）先化为标准方程 ， ， 焦点坐标是（0， ）， 准线方程是y .,练习1,数学应用,例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=,当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,已知抛物线经过点P(4,2)，求抛物线的标准方程。,提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py,练习2,例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x50的距离小1，求点M的轨迹方程,如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x4为准线的抛物线因为p/2=4,所以p=8,所求方程是y216x,分析：,数学应用,1、M是抛物线y2 = 2px（P0）上一点， 若点M 的横坐标为X0，则点M到焦点的 距离是,练习3,2、抛物线 y2 = 2px ( p0 ) 上一点M到焦点的距离是 a ( a ),则点M到准线的距离是 , 点 M的横坐标是 .,a,a,3、 抛物线y2 =12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .,例4. 斜率为1的直线经过抛物线y2 =4x 的焦点,与抛物线相交于两点A、B, 求线段AB的长.,数学应用,分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。,.,将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式,分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB转化成A、B间的焦点弦（两个焦半径的和），从而达到求解目的.,同理,于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x22.,于是 |AB|=6+2=8,解法二：在图822中，由抛物线的定义可知， |AF|=,说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减 少了运算量，提高了解题效率.,例5. 求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆 与 抛物线的准线相切.,A1,B1,例题讲解,F,例6. 在抛物线y2 = 2x上求一点P, 使P到焦点F与到点A ( 3,2 )的距离之和最小.,例题讲解,1.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,3过抛物线y2=2px的焦点F的诸弦中，最短的 弦长是 。,课堂练习4,B,2p,C,小 结 ：,1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的 对应关系以及判断方法,2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、 准线方程,3、求标准方程常用方法： （1）用定义 ； （2）用待定系数法。,课堂新授,本节主要学习内容,4、直线与抛物线的位置关系，注意焦半径、焦点弦的应用，到焦点和到准线的线段的转化。,再见！,椭圆、双曲线的第二定义：,与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,复 习,