数学分析 华东师大上第四章PPT

1、数学分析教案- 1 -第十四章 幂级数 教学目的：1.理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；2.理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。 教学重点难点：本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。 教学时数：12 学时 1 幂级数（ 4 时 ） 幂级数的一般概念. 型如和 的幂级数 . 幂级数由系数数列 唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一. 一. 幂级数的收敛域: 1. 收敛半径 、收敛区间和。

2、数学分析教案- 1 -第十四章 幂级数 教学目的：1.理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；2.理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。 教学重点难点：本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。 教学时数：12 学时 1 幂级数（ 4 时 ） 幂级数的一般概念. 型如和 的幂级数 . 幂级数由系数数列 唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一. 一. 幂级数的收敛域: 1. 收敛半径 、收敛区间和。

3、第一章 实数集与函数 第二章 数列极限 第三章 函数极限 第四章 函数的连续性 第五章 导数和微分 第六章 微分中值定理及其应用,第七章 实数的完备性 第八章 不定积分 第九章 定积分 第十章 定积分的应用 第十一章 反常积分,第一章 实数集与函数,1 实数 2 数集确界原理 3 函数概念 4 具有某些特性的函数,第二章 数列极限,1数列极限的概念 2收敛数列的性质 3数列极限存在的条件,数列极限的概念,定义1 设 为数列 a为定数，若对 定义1 任给 0 定义2 若 定理2.1 定义3 定义4,收敛函数的性质,定理2.2 定理2.3 定理2.4 定理2.5 定理2.6 定理,第三。

4、后页,前页,在第一章与第二章中,我们已经证明了实,数集中,的,确界定理、单调有界定理、柯西收,敛准则、致密性定理,.,这几个定理反映了实数,的一种特性,这种特性称之为,完备性,.,而有理,数集是不具备这种性质的,.,在本章中,将着重,介绍与上述四个定理的等价性定理及其应用,.,这些定理是数学分析理论的基石,.,1,关于实数集完备性的基本定理,返回,返回,后页,前页,一、区间套定理,二。

5、第一章实数集与函数第二章数列极限第三章函数极限第四章函数的连续性第五章导数和微分第六章微分中值定理及其应用 第七章实数的完备性第八章不定积分第九章定积分第十章定积分的应用第十一章反常积分 第一章实数集与函数 1实数2数集确界原理3函数概念4具有某些特性的函数 第二章数列极限 1数列极限的概念2收敛数列的性质3数列极限存在的条件 数列极限的概念 定义1设为数列a为定数 若对定义1 任给 0定义2若定。

6、第一章 实数集与函数 第二章 数列极限 第三章 函数极限 第四章 函数的连续性 第五章 导数和微分 第六章 微分中值定理及其应用,第七章 实数的完备性 第八章 不定积分 第九章 定积分 第十章 定积分的应用 第十一章 反常积分,第一章 实数集与函数,1 实数 2 数集确界原理 3 函数概念 4 具有某些特性的函数,第二章 数列极限,1数列极限的概念 2收敛数列的性质 3数列极限存在的条件,数列极限的概念,定义1 设 为数列 a为定数，若对 定义1 任给 0 定义2 若 定理2.1 定义3 定义4,收敛函数的性质,定理2.2 定理2.3 定理2.4 定理2.5 定理2.6 定理,第三。

7、第一章 实数集与函数 第二章 数列极限 第三章 函数极限 第四章 函数的连续性 第五章 导数和微分 第六章 微分中值定理及其应用,第七章 实数的完备性 第八章 不定积分 第九章 定积分 第十章 定积分的应用 第十一章 反常积分,第一章 实数集与函数,1 实数 2 数集确界原理 3 函数概念 4 具有某些特性的函数,第二章 数列极限,1数列极限的概念 2收敛数列的性质 3数列极限存在的条件,数列极限的概念,定义1 设 为数列 a为定数，若对 定义1 任给 0 定义2 若 定理2.1 定义3 定义4,收敛函数的性质,定理2.2 定理2.3 定理2.4 定理2.5 定理2.6 定理,第三。

8、1 实数,返回,五、实数的稠密性,六、实数与数轴上的点一一对应,七、实数的绝对值与三角形不等式,三、实数的四则运算,四、实数的阿基米德性,一、实数的十进制小数表示,二、实数的大小,返回,记号与术语,1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示.,若,其中,一、实数的十进制小数表示,若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.,即: 若,则,用无限小数表示实数，称为正规表示.,x 可用循环十进制小数表示，,4. 无理数为无限不循环小数.,二、实数的大小,是正规的十进制小数表示, 规定,实数的大小关系有以下性质:,三者必有其中之一成立，且只有其中。

9、2 数集 确界原理,一、有界集,二、确界,三、确界的存在性定理,四、非正常确界,确界原理本质上体现了实数的完备,性，是本章学习的重点与难点.,返回,记号与术语,一、有界集,定义1,因此 S 无上界.,例1,例2,证,二、确界,定义2,若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其,中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为,上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下,确界.,注2,注1 条件(i) 说明 是 的一个上界, 条件(ii)说明,比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上,界,即上确界是最小的上界.,定义3,注2,证 先证 sup S=1.,例2,以下确界原理也。

10、4 具有某些特性的函数,一、有界函数,本节将着重讨论函数的有界性、单,调性、奇偶性与周期性.,四、周期函数,三、奇函数与偶函数,二、单调函数,返回,一、有界函数,定义1 设 f 定义在D上.,例1,证,证,例2,例3,证,因此,二、单调函数,定义2,证,例4,例5,增.,定理1.2,例6,例7,证,三、奇函数和偶函数,定义3,也是奇函,数.,四、周期函数,定义4,见后图.,注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如：,例8,注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函,数以任意正有理数为周期，但没有最小周期.,例9 任意正有理数是狄利克雷函数 的周期.,证 设,因此,复习思。

11、第一章 实数集与函数 第二章 数列极限第三章 函数极限 第四章 函数的连续性第五章 导数和微分第六章 微分中值定理及其应用,第七章 实数的完备性第八章 不定积分第九章 定积分第十章 定积分的应用第十一章 反常积分,第一章 实数集与函数,1 实数2 数集确界原理3 函数概念4 具有某些特性的函数,第二章 数列极限,1数列极限的概念2收敛数列的性质3数列极限存在的条件,数列极限的概念,定义1 设 为数列 a为定数，若对定义1 任给 0定义2 若定理2.1定义3定义4,收敛函数的性质,定理2.2定理2.3定理2.4定理2.5定理2.6定理,第三章 函数极限,1 函数极限。

12、第一章 实数集与函数 第二章 数列极限 第三章 函数极限 第四章 函数的连续性 第五章 导数和微分 第六章 微分中值定理及其应用,第七章 实数的完备性 第八章 不定积分 第九章 定积分 第十章 定积分的应用 第十一章 反常积分,第一章 实数集与函数,1 实数 2 数集确界原理 3 函数概念 4 具有某些特性的函数,第二章 数列极限,1数列极限的概念 2收敛数列的性质 3数列极限存在的条件,数列极限的概念,定义1 设 为数列 a为定数，若对 定义1 任给 0 定义2 若 定理2.1 定义3 定义4,收敛函数的性质,定理2.2 定理2.3 定理2.4 定理2.5 定理2.6 定理,第三。

13、,第一章 实数集与函数 第二章 数列极限第三章 函数极限 第四章 函数的连续性第五章 导数和微分第六章 微分中值定理及其应用,第七章 实数的完备性第八章 不定积分第九章 定积分第十章 定积分的应用第十一章 反常积分,.,第一章 实数集与函数,1 实数 2 数集确界原理 3 函数概念 4 具有某些特性的函数,.,第二章 数列极限,1数列极限的概念 2收敛数列的性质 3数列极限存在的条件。

14、返回返回后页后页前页前页 1 实数 数学分析研究的是实 数集上定义 的函数 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质 返回返回 返回返回后页后页前页前页 五 实数的稠密性 六 实数与数轴上的点一一对应 七 实数的绝对值与三角形不等式 三 实数的四则运算 四 实数的阿基米德性 一 实数的十进制小数表示 二 实数的大小 返回返回 返回返回后页后页前页前页 记号与术语 返回返回后页后页前页前页 1 任何。

15、返回返回后页后页前页前页 1 连续函数的概念 一 函数在一点的连续性 三 区间上的连续函数 二 间断点的分类 返回返回 返回返回后页后页前页前页 定义1 由定义1知 我们是通过函数的极限来定义连续 一 函数在一点的连续。