截面的几何性质

1、附录 截面的几何性质 -1 截面的静矩和形心位置1. 静矩（或一次矩）(单位： m3 或mm3 。）2. 形心坐标公式OzdAyyxC3. 组合截面的静矩截面对形心轴的静矩为04. 组合截面的形心坐标公式1）静矩和形心坐标均与所取的坐标系有关 ，2）静矩和形心坐标均可正可负 。例 求图示T形截面的形心位置。1001002020y解：建立参考坐标系 。zA1A2= 40 mmz= 20 mmA1A2A3z”= -80 mmzyodyC I2 极惯性矩 惯性矩 惯性 积 1.极惯性矩2. 惯性矩1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关 ，OzyyzdA3. 惯性积2) 惯性积可正可负 3) 单位m4 或 mm44. 惯性半径。

2、oxy1-1 截面的静矩和形心位置一, 定义dAxy截面对 y , x 轴的静矩为：静矩可正，可负，也可能等于零。1其计算公式为：oxydAxyc( yC , xC )为截面形心 C 的坐标2（2）截面对形心轴的静矩等于零。（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。dAxycoxy3二、 组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面截面对某一轴的静矩，等于该截面各组成部分对于同一轴静矩的代数和。124Ai 第 i 个简单截面面积 第 i 个简单截面的形心坐标组合截面静矩的计算公式为第 i 个简单截面对 y 轴的静矩第 i 个简单截面对 x 轴的静矩5计算组合截面形心坐。

3、1-1 截面的静矩和形心位置,一, 定义,截面对 y , x 轴的静矩为：,静矩可正，可负，也可能等于零。,其计算公式为：,o,x,y,x,y,( yC , xC )为截面形心 C 的坐标,（2）截面对形心轴的静矩等于零。,（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。,o,x,y,二、 组合截面,由几个简单图形组成的截面称为组合截面,截面对某一轴的静矩，等于该截面各组成部分对于同一轴 静矩的代数和。,Ai 第 i 个简单截面面积, 第 i 个简单截面的形心坐标,组合截面静矩的计算公式为,计算组合截面形心坐标的公式如下：,例题：试确定图示截面心 C 的位置。,取 x 。

4、专业整理 附录I 截面的几何性质 习题解 习题I-1 试求图示各截面的阴影线面积对轴的静积。 （a） 解 （b） 解 （c） 解 （d） 解 习题I-2 试积分方法求图示半圆形截面对轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解用。

5、附录 截面的几何性质, -1 截面的静矩和形心位置,1. 静矩（或一次矩）,(单位： m3 或mm3 。）,2. 形心坐标公式,3. 组合截面的静矩,3）截面对形心轴的静矩为0，,4. 组合截面的形心坐标公式,1）静矩和形心坐标均与所取的坐标系有关，,2）静矩和形心坐标均可正可负，,4）静矩为0的轴为截面的形心轴。,例 求图示T形截面的形心位置。,100,100,20,20,y,解：,= 40 mm,= 20 mm,= -80 mm, I2 极惯性矩 惯性矩 惯性积,1.极惯性矩,2. 惯性矩,1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关，,3. 惯性积,2) 惯性积可正可负,3) 单位m4 或 mm4,4. 惯性。

6、附录 截面的几何性质 (Appendix I Properties of plane areas),I-1 静矩和形心(The first moments of the area & centroid of an area),I-2 惯性矩和惯性半径 (The moment of inertia & radius of gyration of the area ),I-4 平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem ),I-3 惯性积 (Product of inertia ),I-5 转轴公式 主惯性矩 (Rotation of axes & principal axes),I-1 静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of an area),一、静矩(The first moment of the area）,截面对 y , z 轴的静矩为,静矩可正，可负，也可能等于零.。

7、附 录截面几何性质,1 静矩和形心,形心坐标,应用式,结论：,若图形对某一轴的静距等于零，则该轴必然通过图形的形心；,若某一轴通过图形的形心，则图形对该轴的静距必然等于零；,形心轴：通过图形的形心的坐标轴。,其中，yi与zi分别为第i个简单图形的形心坐标。,常见截面的惯性矩和惯性半径：,常见截面的惯性矩和惯性半径：,常见截面的惯性矩和惯性半径：, =d / D,对于实心圆截面：,对于圆环截面：,Wp 扭转截面系数,若y轴或z轴为截面的一个对称轴，则惯性积 Iyz=0,Iyz 称为截面面积对y轴和z轴的惯性积。,惯性积的性质：,若Iyz=0，且y与z轴同。

8、-1 截面的静矩和形心位置, I2 极惯性矩 惯性矩 惯性积,Lectures (八),Appendix Geometric Properties of An Area,附录1 截面的几何性质, -1 Static Moment Center of An Area, I2 Polar Inertia Moment Moment of Inertia Product of Inertia,附录 截。

9、1,第七章 截面的几何性质,71 截面的面积矩和形心位置 72 惯性矩、惯性积与极惯性矩 73 主惯性轴和主惯性矩 74 组合截面的惯性矩计算,2,建筑力学,分别称为截面对z轴和y轴的面积矩。,7-1 截面的面积矩和形心位置,一、面积矩,3,建筑力学,二、形心,形心坐标公式为：,静矩和形心坐标之间的关系：,如果截面几何图形对某一轴的面积矩等于零，相应的形心坐标值为零，即该轴通过截面形心。反之，当坐标轴通过截面的形心时，其面积矩恒等于零。,4,建筑力学,例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。,解：,5,建筑力学,例：确定图示图形形心C的位置。,解。

10、附录 截面的几何性质 I1 截面的静矩和形心位置 dA C z y y yC zC O 图I1 z 如图I1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分 （I1） 分别定义为该截面对于z轴和y轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得 利用公式（I1），上式可写成 （I2） 或。

11、附录 截面几何性质,1-1 截面的静矩和形心,一、静矩,截面对 y , z 轴的静矩为,静矩可正,可负,也可能等于零.,y,z,O,y,z,二、截面的形心,(2)截面对形心轴的静矩等于零.,(1)若截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必过形心.,例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。,解：,例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。,解：,三、 组合截面的静矩和形心,由几个简单图形组成的截面称为组合截面,截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和,就等于该截面对于同一轴的静矩.,其中 Ai 第 i个简单截面面积,1、组合截。

12、第七章第七章 截面几何性质截面几何性质思考题与习题思考题与习题7-1如图所示 T 形截面，C 为形心，z 为形心轴，问 z 轴上下两部分对 z 轴的静矩存在什么关系？答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正） 。7-2如图所示矩形截面 m-m 以上部分对形心轴 z 的静矩和 m-m 以下部分对形心轴 z的静矩有何关系？答：同上。7-3惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、可负、还可为零？略。教材中有关定义在有说明。7-4图 a 所示矩形截面，若将形心轴 z 附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图 b。

13、附附 录录 A A截面图形的几何性质 为什么要研究截面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质 形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径 移轴定理移轴定理 转轴定理转轴定理 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主轴与形心主轴、主惯性矩与形心 主惯主惯性矩性矩 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法方法 结论与讨论结论与讨论一一 为什么要研究截面图形为什么要研究截面图形的几何性质的几何性质 实际构件的承载能力。

14、Char 10 Properties of Plane Areas,第10章 截面的几何性质,第10章 截面的几何性质 (Char 10 Properties of plane areas),10-1 截面的静矩和形心(The first moments of the area & centroid of an area),10-4 转轴公式 (Rotation of axes),10-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 (Polar moment of inertia Moment of inertia Product of inertia),10-3平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem),10-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of an area),一、静矩(The first moment of the area ）,截面对 y , z 轴的静矩为,静矩可。

15、材 料力学,附录 截面几何性质,河南理工大学土木工程学院力学系,附录I 截面的几何性质,I-1 静矩和形心,I-2 惯性矩、极惯性矩和惯性积,I-3 平行移轴公式,I-4 转轴公式、主惯性轴,1 静矩和形心,一、静矩的定义,二、形心,求静矩的另一公式：,结论 ： 截面图形对通过其形心的轴的静矩为零；反之，若截面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。,结论：静矩的值与所选的坐标有关,可正、可负，也可为零。,例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。,【解】,取平行于x轴的狭长条，,所以对x 轴的静矩为,取 x 轴和 y 轴分别与截面 。