勾股定理难题

1、勾股定理难题(二)竞赛题- 作者： 日期： 勾股定理（二） 定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍 例1、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长。

2、评卷人得分一、选择题1下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A4，5，6 B3，4，5 C2，3，4 D1，2，32给出下列命题：在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；三角形的三边a、b、c满足，则C=90；ABC中，若A：B：C=1：5：6，则ABC是直角三角形；ABC中，若 a：b：c=1：2： ，则这个三角形是直角三角形其中，假命题的个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 3如图，如果把ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A点，连接AB，则线段AB与线段AC的关系是（ ）A垂直 B相等 C平分 D平分且垂直4下面说法正确的是个数有（ ）如果三。

3、勾股定理难题训练1、如图1，ABC和CDE都是等腰直角三角形，C=90，将CDE绕点C逆时针旋转一个角度（090），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE（1）依题意补全图2；求证：AD=BE，且ADBE；作CMDE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且BPD=90，请直接写出点A到BP的距离2、（1）问题发现：如图1，ACB和DCE均为等边三角形，当DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证BCEACD则BEC；线段AD、BE之间的数量关系是（2）拓展研究：如图2，ACB和DCE均为等腰三角形，且ACBDCE。

4、1、如图，由4个全等的直角三角形拼合而成的一个大正方形，如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于多少？S1S2S32、如图，三个半圆的面积分别为S1=4.5，S2=8，S3=12.5，把这三个半圆拼在一起，则图中的三角形一定是直角三角形吗？为什么？3、RtABC中，斜边AB=4，则AB2+BC2+AC2= 。4、直角三形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长是 。AB6315、长方体底面边长分别为1和3，高为6，如果一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A。

5、1.题目：如图，在ABC中，C=90，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于点P，求证：BPM=45答案：如图，过点M作ME（平行等于）AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形得NE=AM,MEBCME=CM，EMB=MCA=90，BM=ACBEMAMC，得BE=AM=NE，1=2，3=41+3=902+4=90且BE=NEBEN为等腰直角三角形，BNE=45AMNEBPM=BNE=45题目：如图，在四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=CD，求证：BD=AB+BC答案：如图，以BC为边向外作等边三角形BCE，即BC=BE=CE，连接AEADC=60且AD=CDACD为等边三角形 即DC=CA=AD那么BCD=EBC=CEB=6。

6、用面积证明勾股定理 方法一 将四个全等的直角三角形拼成如图 1 所示的正方形 图 1 中 所以 方法二 将四个全等的直角三角形拼成如图 2 所示的正方形 图 2 中 所以 方法三 将四个全等的直角三角形分别拼成如图 3 1和 3 2所示的两个形状相同的正方形 在 3 1中 甲的面积 大正方形面积 4个直角三角形面积 在 3 2中 乙和丙的面积和 大正方形面积 4个直角三角形面积 所以 甲的面积 乙。

7、勾股定理 一 选择题 1 直角三角形的两直角边分别为5厘米 12厘米 则斜边上的高是 A 6厘米 B 8厘米 C 厘米 D 厘米 2 若等腰三角形腰长为10cm 底边长为16 cm 那么它的面积为 A 48 cm2 B 36 cm2 C 24 cm2 D 12 cm2 3 Rt 一直角边的长为11 另两边为自然数 则Rt 的周长为 A 121 B 120 C 132 D 不能确定 解 设该Rt 的。

8、用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，所以。方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）1和（3）2所示的两个形状相同的正方形。在（3）1中，甲的面积=（大正方形面积）（4个直角三角形面积）,在（3）2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。，所以。练习题1 如图，圆柱的高为10 cm。

9、勾股定理的应用 常见题型 求值 求边长或面积 线段间的平方关系 折叠后求值 判断垂直 几何体表面上两点间距离 一 求值问题 例题 1 如图 直线l上有三个正方形a b c 若a c的面积分别为5和11 则b的面积为 A 4 B 6 C 16 D。

10、试卷第 1 页，总 6 页评卷人得分 一、选择题一、选择题1下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A4，5，6 B3，4，5 C2，3，4 D1，2，3 2给出下列命题：在直角三角形 ABC 中，已知两边长为 3 和 4，则第三边长为5；三角形的三边 a、b、c 满足，则C=90；ABC 中，若222bcaA：B：C=1：5：6，则ABC 是直角三角形；ABC 中，若 a：b：c=1：2：，则这个三角形是直角三角形其中，假命题的个数为（ ）3A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3如图，如果把ABC 的顶点 A 先向下平移 3 格，再向左平移 1 格到达 A点，连接 AB，则线段 AB 与线段 AC 的关系是（。

11、用面积证明勾股定理 方法一 将四个全等的直角三角形拼成如图 1 所示的正方形 图 1 中 所以 方法二 将四个全等的直角三角形拼成如图 2 所示的正方形 图 2 中 所以 方法三 将四个全等的直角三角形分别拼成如图 3 1和 3。

12、勾股定理难题训练勾股定理难题训练 1、如图 1，ABC 和CDE 都是等腰直角三角形，C=90，将CDE 绕点 C 逆时针旋转一个 角度 （090），使点 A，D，E 在同一直线上，连接 AD，BE （1）依题意补全图 2； 求证：AD=BE，且 ADBE； 作 CMDE，垂足为 M，请用等式表示出线段 CM，AE，BE 之间的数量关系； （2）如图 3，正方形 ABCD 边长为，若点 P 满足 PD=1，且BPD=90，请直接写出点 A 到 BP 的距离 2、（1）问题发现：如图 1，ACB和DCE均为等边三角形，当DCE旋转至点A，D，E在同 一直线上，连接BE，易证BCEACD则 BEC；线段AD、BE之间的数量关系是 。

13、评卷人得分一、选择题1下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A4，5，6 B3，4，5 C2，3，4 D1，2，32给出下列命题：在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；三角形的三边a、b、c满足，则C=90；ABC中，若A：B：C=1：5：6，则ABC是直角三角形；ABC中，若 a：b：c=1：2： ，则这个三角形是直角三角形其中，假命题的个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 3如图，如果把ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A点，连接AB，则线段AB与线段AC的关系是（ ）A垂直 B相等 C平分 D平分且垂直4下面说法正确的是个数有（ ）如果三。

14、勾股定理一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）A、6厘米 B、8厘米 C、厘米 D、厘米2、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( ) A. 48 cm2 B. 36 cm2 C. 24 cm2 D.12 cm23、Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt的周长为（）A、121B、120C、132D、不能确定解：设该Rt的三边分别为a、b、c，a、b为直角边，c为斜边由勾股定理知：，即：112b2 = c2 所以（b+c）（cb）=121因为b、c都为自然数，所以b+c，cb，都为正自然数。又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121。

15、1、如图，由4个全等的直角三角形拼合而成的一个大正方形，如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于多少？S1S2S32、如图，三个半圆的面积分别为S1=4.5，S2=8，S3=12.5，把这三个半圆拼在一起，则图中的三角形一定是直角三角形吗？为什么？3、RtABC中，斜边AB=4，则AB2+BC2+AC2= 。4、直角三形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长是 。AB6315、长方体底面边长分别为1和3，高为6，如果一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A。

16、评卷人得分一、选择题1下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A4，5，6 B3，4，5 C2，3，4 D1，2，32给出下列命题：在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；三角形的三边a、b、c满足，则C=90；ABC中，若A：B：C=1：5：6，则ABC是直角三角形；ABC中，若 a：b：c=1：2： ，则这个三角形是直角三角形其中，假命题的个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 3如图，如果把ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A点，连接AB，则线段AB与线段AC的关系是（ ）A垂直 B相等 C平分 D平分且垂直4下面说法正确的是个数有（ ）如果三。

17、1、已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ____________ 2.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）想一想，此时EC有多长？3、如图，EF为正方形ABCD的对角线，将A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则DKG=_______ 4、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为。

18、勾股定理难题1、如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.图32、有一块土地形状如图3所。

19、勾股定理难题1、如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.图32、有一块土地形状如图3所。