复变函数习题五

1、第 1 页 共 5 页)2009 复习题一单项选择题： 1复数方程所表示的曲线为（ ）zzcA.直线 B.圆周 C.椭圆 D.抛物线2.函数在点处是（ ）2)(zzf2z A.解析的 B.可导的但不解析 C. 不可导的 D.不解析也不可导3.函数在处的泰勒展开式为 ( )(zf1 z1z) 11() 1() 1(. .11zznAnnn0.( 1)(1)(11)nnnBn zz. D。11.(1)(11)nnCn zz 11(1)(11)nnzz 4.设 为正向圆周,则( )C1 2z Cdzzz2)1 (cosA.-2 B. C. D.-i1sini21sin01sin5.( )6Re,2(2)(2)zszzA.-1 B.2 C.3 D.4 6.是的( )0z。

2、1一、重点与难点重点：难点：1. 复数运算和各种表示法2. 复变函数以及映射的概念1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域2. 映射的概念2二、内容提要复数复变函数极限连续性代数运算乘幂与方根复数表示法几何表示法向量表示法三角及指数表示法复球面复平面 扩充曲线 与区域判别定理极限 的计算31.复数的概念41) 两复数的和2) 两复数的积3)两复数的商2. 复数的代数运算54)共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.共轭复数的性质63.复数的其它表示法（1）几何表示法7（2）向量表示法复数的模(或绝对值)8模的性质。

3、复变函数复习题一、判断题1、若 z0 是 的 m 阶零点，则 z0 是 1/ 的 m 阶极点。 （ ）)(f )(zf2、 若 存在且有限，则 z0 是函数的可去奇点。 （ ）li0z3、 若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 。 （ ）0)(dzf4、 若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数。 （ ）5、 若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D 内恒等于常数。（ ）6、 若函数 f(z)在 z0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。 （ ）7、 若函数 f(z)在 z0 可导，则 f(z)在 z0。

4、122复变函数复习题 1填空题 .1设 ，则 的三角表示为_________________________ sin cos 6 6 z i z 2. 的实部是 ，虚部是 ，辐角主值是 10 3 1 3 1 i i 3.若 ，则 _______________ ln 2 z i z 4. 。 ) 3 1 ln( i 5. 的值为 ，主值为 i i 1 6.复数 的实部是 ，虚部是 ，共轭复数是 i i i 1 3 1 7.若 正向是圆周： ， 是整数，则 ______________ C r z z 0 n dz z z C n ) ( 1 0。

5、复习题一二填空题（每题3分，总分3*5=15分）。1设，则 2函数在点解析的充要条件是 3设为正向圆周，则。4Z=1为的 级极点。5 ， 。三计算题（1，2每题10分；3，4每题15分；总分分）。1、计算积分(利用留数定理或者柯西积分定理求解),其中且;(1)指出被积函数奇点；并判断是什么类型奇点；(2)分情况讨论：当0R1;1R2;2R+时的积分值2、 把函数内展成洛朗级数。3.求衰减函数的傅立叶变换及其积分（即傅立叶逆变换）表达式。4.利用拉氏变换求常系数微分方程的解.（提示： ,）复习题二二填空题（每题3分，总分3*5=15分）。1.2+2i的指数形式为 ,三角。

6、1复变函数与积分变换复习题1、 设 ，则iz_Im,Rez2、 设 ，则 。3,arg|3、 时，_,yx iiyx15)3(4、 设 ，则iz_,r,| zz5、 设 ，则 z 关于实轴的对称点为___， z 关于虚轴的对1称点为___，z 关于原点的对称点为___。6、 = )3(2)(ii7、设 、 实、是两复数，求证：1 2122Re| zzz8、设 、 实、是两复数，求证：1。| 29、设 、 是两复数，求证：z2，并说明)|(| 2111 zz其几何意义。10、求证： )2sin(co2s)sinco( n11、解方程： 03(2iz212、满足下列条件的点 所组成的点集是什么？如果是区域，是单z连通区域还是多连通区域：（1） 、 ； （2） 、 。

7、2,一、重点与难点,重点：,难点：,1. 复积分的基本定理；,2. 柯西积分公式与高阶导数公式,复合闭路定理与复积分的计算,3,二、内容提要,有向曲线,复积分,积分存在的 条件及计算,积分的性质,柯西积分定理,原函数 的定义,复合闭路 定 理,柯西积分 公 式,高阶导数公式,调和函数和 共轭调和函数,4,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,1.有向曲线,5,2.积分的定义,6,7,3.积分存。

8、一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)1设 z 为非零复数，a,b 为实数，若 ，则 a2+b2 的值（Bibz_）A等于 0 B等于 1C小于 1 D大于 12下列函数中，不解析的函数是（A ）A.w= B.w=z2zC.w=ez D.w=z+cosz3.沿正向圆周的积分 =（ B ） dzz21sin.2 .0 . .以上都不对1sinsi4对于复数项级数 ，以下命题正确的是（B ）0nn6)43(A.级数是条件收敛的 B.级数是绝对收敛的C.级数的和 D.级数的和不存在，也不为 5函数 在 z=0 点的留数为（D）ztanA2 BiC 1 D0二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）1. 方程 的解为______。

9、2 一 重点与难点 重点 难点 留数的计算与留数定理 留数定理在定积分计算上的应用 3 二 内容提要 留数 计算方法 可去奇点 孤立奇点 极点 本性奇点 函数的零点与极点的关系 对数留数 留数定理 留数在定积分上的应用 辐角原理 路西原理 4 1 孤立奇点的概念与分类 2 孤立奇点的分类 内的洛朗级数的情况分为三类 i 可去奇点 ii 极点 iii 本性奇点 5 i 可去奇点 6 ii 极点 7。

10、2,一、重点与难点,重点：,难点：,留数的计算与留数定理,留数定理在定积分计算上的应用,3,二、内容提要,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与 极点的关系,对数留数,留数定理,留数在定积 分上的应用,辐角原理,路西原理,4,1. 孤立奇点的概念与分类,2）孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点.,5,i) 可去奇点,6,ii) 极点,7,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(b) 由定义的等价形式判别,8,iii)本性奇点,9,3)函数的零点与极点的关系,10,2. 留数,1。

11、第四章第四章 级级 数数一、选择题：一、选择题：1设，则( ), 2 , 1(4)1( nnniannnna lim（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在01i2设幂级数和的收敛半径分别为，则 010,nn n nn nznczc 01 1nnnznc321,RRR之间的关系是( )321,RRR（A） （B） 321RRR 321RRR （C） （D）321RRR 321RRR 3幂级数的收敛半径( ) 1)2(2sinnnz nn R（A） （B） （C） （D）122 4幂级数在内的和函数为 01 1)1(nnn zn1 z（A） （B）)1l。

12、2,一、重点与难点,重点：,难点：,留数的计算与留数定理,留数定理在定积分计算上的应用,3,二、内容提要,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与 极点的关系,对数留数,留数定理,留数在定积 分上的应用,辐角原理,路西原理,4,1. 孤立奇点的概念与分类,2）孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点.,5,i) 可去奇点,6,ii) 极点,7,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(b) 由定义的等价形式判别,8,iii)本性奇点,9,3)函数的零点与极点的关系,10,2. 留数,1。

13、复变函数与积分变换复习题复变函数与积分变换复习题一、填空题：（每小题一、填空题：（每小题 4 分，共分，共 20 分）分）1、设,则 Rez=________ ___ ___。4ie2z 2、设 f(z)=x3-3xy2+(ax2y-y3)i 在 Z 平面上解析，则 __。a3、设，则幂级数的收敛半径为______ i1aalimn1nn0nnnz1na___。4、设函数，则 Resf(z),-i=____________。22iz) 1z(e)z(f5、 则的 Fourier 变换____________________。( )( ),f ttu t( )f t( )F二、选择题：（每小题 4 分，共 20 分）1、设 z=，则 为（ ）i11zAB21i 21iC D21i 21i2、设 z=x+iy.若 f (z)=my3+nx2y+i(x3。

14、考试安排,主要内容,复数的几种表示及运算；区域，曲线；初等复变函数。,Cauchy - Riemann 方程：(1) 判断可导与解析，求导数；,Fourier 变换的概念, 函数，卷积。,Cauchy 积分公式，Cauchy 积分定理，高阶导数公式。,Laurent 展式。,留数：(1) 计算闭路积分；,保形映射：(1) 求象区域；,利用 Laplace 变换求解常微分方程(组) 。,(2) 构造解析函数。,(2) 计算定积分。,(2) 构造保形映射。,一、构造解析函数,一、构造解析函数,( 仅考虑已知实部 u 的情形 ),(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得：,其中， 已知，而 待定。,(3) 将 (C 。

15、1第二章第二章 复习题复习题一、单项选择题：1函数在点 则称在点解析。( )wf z0z( )f z0zA）连续 B）可导 C）可微 D）某一邻域内可微2函数在点的条件指： ( )( , )( , )f zu x yiv x y( , )x yCRA） B）,uvuv xyyx ,uvuv xyyx C） D）,vuvu xyyx ,vuvu xyyx 3函数把平面上单位圆在第二象限弧段变成平面上单位圆的 象限弧段.3wzZWA）第一、二、三 B）第二、三、四 C）第三、四、一 D）第四、一、二4函数在区域内有定义，则（1），在区域( )( , )( , )f zu x yiv x yD( , )u x y( , )v x y满足条件.（2）在连续，是在区域可微的 条件DCR,xyx。

16、一、 1. 集合的运算（集列的上、下极限） 2. 对等、基数的定义 3. 可数集合定义、性质 4. 不可数集合（0，1） 5. 集合聚点、内点、外点、边界点定义，及相互关系 6. 开、闭集定义和等价描述（会判断），及运算性质 7. 自密集、完备集定义（会判断） Q , R , 0，1 8. 直线上开、闭、完备集构造 9. Cantor三分集性质（自密集、闭集、没有内点，具有连续基数，测度=0。

17、1 0 0) Im()Im( lim 0 zz zz xx （） （A）等于i（B）等于i（C）等于0（D）不存在 2函数),(),()(yxivyxuzf在点 000 iyxz处连续的充要条件是（） （A）),(yxu在),( 00 yx处连续（B）),(yxv在),( 00 yx处连续 （C）),(yxu和),(yxv在),( 00 yx处连续（ D）),(),(yxvyxu在),( 00 yx处连续 3函数 2 3)(zzf在点0z处是 ( ) （A）解析的（ B）可导的 （C）不可导的（ D）既不解析也不可导 4下列命题中，正确的是( ) （A）设yx,为实数，则 1)cos(iyx （B）若 0 z是函数)(zf的奇点，则)(zf在点 0 z不可导 （C）若vu,在区域D内满足柯西 - 黎曼方程，。