3.4基本不等式2

1、3.4基本不等式:,一、问题引入,新课探究,新课探究,一般地，对于任意实数 ，我们有,当且仅当 时等号成立,思考：如何证明？,证明：,当且仅当 时， 此时,当且仅当a=b时，取“=”号,能否用不等式的性质进行证明？,小组合作：,在右图中，AB是圆的直径， 点C是AB上的一点， 设 AC = a , BC = b 。 过点C作垂直于AB的弦DE， 连接AD、BD。,基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”,E,P98探究,2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数,2.代数证明:,3.几何意义：半弦长小于等于半径,（当且仅当a=b时，等号成立）,二、新课讲解,3.几何证明:,从。

2、主讲 ： 吴 迪湖南省长沙市一中卫星远程学校湖南省长沙市一中卫星远程学校复习引入湖南省长沙市一中卫星远程学校复习引入湖南省长沙市一中卫星远程学校复习引入湖南省长沙市一中卫星远程学校例题讲解湖南省长沙市一中卫星远程学校例题讲解湖南省长沙市一中卫星远程学校课堂练习湖南省长沙市一中卫星远程学校课堂小结湖南省长沙市一中卫星远程学校课后作业。

3、34 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的 2 倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一。

4、第三课时 基本不等式（三）（一）教学目标（1）知识与技能目标1.熟练使用 a2+b22ab和 ab2.2.会应用此定理求某些函数的最值；3.能够解决一些简单的实际问题.（2）过程与能力目标了解运用 ab2的条件，熟练运用不等式中 1的变换.（3）情感与态度目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.（二）教学重点：在运用 ab2中要注意“一正” 、 “二定” 、 “三相等”.教学难点： ba的运用.（三）教学流程（1）复习：基本不等式（2）举例分析 的 最 值， 。

5、3.4 基本不等式 第二课时 目标 进一步掌握基本不等式 会应用基本不等式求某些表达式的最值。 a2+b22ab （当且仅当 a=b 时取“ =”） 1.重要不等式： 2.基本不等式： 如果 a0, b0， abba 2（当且仅当 a=b 时，等号成立） 注： 常用变形： abba 2 4)( 2baab 思考 1： 在基本不等式 (a 0， b 0)中，如果 ab P为定值，能得到什么原理？ 2a b a b原理一： 若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值 . 思考 2： 在基本不等式 (a 0， b 0)中，如果 a b S为定值，又能得到什么原理？ 2a b a b原理二： 若两个正数的和为定值，。

6、基本不等式的应用（二）,求函数的最值,1、 如果a, b是正数, 那么 (当且仅当 ab 时取“=”号) (均值不等式),一、基本不等式回顾,2、公式变形：,特别地， ab =0时也成立,（当a、b R成立吗？）,一正二定三相等,和定积最大 积定和最小,(a, b是正数,当且仅当 ab 时取“=”号),分析、,挖掘隐含条件,0x,，1-3x0,y=x（1-3x）=,3x（1-3x）,当且仅当 3x=1-3x,可用均值不等式法,配凑成和成定值,二、例题分析,2. 函数y= (x 0)的最小值为______,此时x=______.,解:,2-1=1,当且仅当 时取“=”号,0,1,构造积为定值,3、已知,，则,最大值,最小值,当且仅当,，。

7、3.4 基本不等式:,（第2课时：求函数的最值）,基本不等式知识结构,（a - b）2 0,展开,a2b2 2ab,变形,降次,变形,同加上左边，开方,同加上右边，开方,范例讲解,题1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?,归纳,1、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b R，且a + b = M，M为定值，则ab ，等号当且仅当a = b时成立。 2、两个正数的积为定。

8、探究:,如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,研究过程:,1探究图形中的不等关系,由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：,探究图形变化过程,当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有,2得到结论：,3思考：你能给出它的证明吗？,证明：因为,特别的，如果a0,b0,我们用 分别代替a、b ，可得 通常我们把上式写作,基本不等式 (a0,b0),3.4基本。

9、基本不等式,两个正数的 几何平均数,两个正数的算术平均数,上面两个定理的主要区别在哪里呢?,两个不等式的适用范围不同.,平均值定理常称作“均值不等式”,它是一个非常 重要的不等式,常变形为,错在哪里？,已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值,运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件,均值不等式的运用,已知函数 ， 求函数的最小值,用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件,用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.,均值不等式的运用一:求两个正数的和的最小值.,在什么情。

10、新课导入,如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,基本不等式的几何背景.,实际上，我们可以尝试用四个全等的直角三角形拼成上面那个“风车”图案.,赵爽弦图,从图形的面积的角度你能找不一些不等关系吗？,3.4基本不等式,教学目标,知识与能力,1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；,2.进一步掌握基本不等式,会应。

11、3.4 基本不等式,问题引入:,知识要点:,知识要点:,如图AB是圆的直径，在直径AB上取一点C，使AC=a，CB=b，过C作弦DEAB，连AD、BD，你能利用这个图形得出上述不等式的几何解释吗？,基本不等式的应用:,点评：可以用基本不等式来证明其它不等式，但要注意基本不等式的适用范围，一般要点明等号成立的条件。,基本不等式的推广:,即，两个正数的调和平均数小于等于几何平均数小于等于算术平均数小于等于平方平均数。,基本不等式的应用:,例2.x0，求 的最小值,变式一：x0，求x + 的最大值,变式二:设0x1，求函数的最小值,变式三:设x5，求函数 的最小值。

12、必修 第三章 不等式3.4基本不等式:第课二时两个基本不等式知识回顾:练习:a,b均为正数,证明不等式:例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短 篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？反思：由此题我们可 以得到什么启示呢？应用二：解决最大（小）值问题应用要点：一正 二定 三相等已知x，yR，则则有： (1)若和xyS为为定值值，则则当且仅仅当xy时时，积积xy有最大值则值则 有(2)若积积xyP为为定值。

13、3.4基本不等式基本不等式 (1)如图是在北京召开 的第24界国际数学 家大会的会标，会 标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图 设计的，颜色的明 暗使它看上去象一 个风车，代表中国 人民热情好客。 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 如果设直角三角形的两条直角边 的边长为a和b，你能用a和b表示 哪些面积？这些面积之间有什么 关系？何时取到等号？得出一 般结论 ：对于这个一般结论你能给出 证明么？， 通常我们把上式写作：特别的，如果a0,b0,我们用分别代 替a、b ，可得用分析法证明两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平。

14、3.4 基本不等式：,学科网,第24届国际数学家大会,会标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去像 一个风车，代表中国人民 热情好客,2020/9/6,中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。,赵。

15、学 海 无 涯 教师课时教案 备课人 授课时间 课题 3 4基本不等式 第2课时 课标要求 进一步掌握基本不等式 教 学 目 标 知识目标 会应用此不等式求某些函数的最值 能够解决一些简单的实际问题 技能目标 通过两个例题的研究 进一步掌握基本不等式 情感态度价值观 引发学生学习和使用数学知识的兴趣 发展创新精神 培养实事求是 理论与实际相结合的科学态度和科学道德 重点 基本不等式的应用 难点 利。

16、边城高级中学 张秀洲,1理解并掌握基本不等式及变形应用2会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题,自学教材 P97P100 解决下列问题,一、理解并掌握基本不等式及变形应用,二、创新设计 自学导引.,三、教材 P100 练习1、2、3、4.,下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗？,a,b,设AE=a,BE=b,则正方形ABCD的面积是______, 这4个直角三角形的面积之和是_________,a2+b2,2ab,当且仅当a。

17、第二课时 基本不等式（二） 一、教学目标（1）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题（2）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。（3）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性二、教学重点、教学难点教学重点：正确运用基本不等式教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件三、教学流程（一）复习引入1基本不等式：如果 abba2R,2那 么 )(号时 取当 且 仅 当 ba如果 a,b 是正数，那么 .号时 取当 且 仅 当前者只要求 a,b 都是实数，而后者要求 a,b 都是正数 我们称 ba,2。

18、高二数学多媒体课件,3.4基本不等式,2002年国际数学家大会会标,探究一:,如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,探究过程:,1探究图形中的相等关系和不等关系,此会标图案中,你能看出含有怎样的几何图形?,若设直角三角形的两条直角边的长分别为a、b,你能用a、b表示出哪些面积?这些面积之间有什么关系?由此可以得出一个什么关系式?,若图形中的直角三角形变为等腰直角三角形即a=b时呢?,在正方形ABCD中有四。