６．３用平方差公式分解因式

1、.3用乘法公式分解因式用乘法公式分解因式（1 1） 运用平方差公式因式分解运用平方差公式因式分解同学们，让我们一起乘坐幸福同学们，让我们一起乘坐幸福快车，领略一路的数学美景！快车，领略一路的数学美景！13.5cm6.5cm.13.52.6.5213.52.6.52-(若若取取3）3 313.5 13.5 - - 3 36.5 6.5 22你你能能不不用用计计算算器器快快速速算算出出吗吗？两者面积之差为（列出算式）：两者面积之差为（列出算式）：=3（13.526.52）=3207=3(13.56.5)(13.56.5)把如图卡纸剪开，拼成一张长方形卡把如图卡纸剪开，拼成一张长方形卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？你能给出数学解释吗？你能给出数学解释吗？ a-b a-b b a-ba2-b2(a+b)(a-b)= 两数的平方两数的平方差等于两数的差等于两数的和与两数差的和与两数差的积。积。 )(ba ba-+=22ba - -)(22bababa-+=-整式乘法整式乘法因式分解因式分解两个数的两个数的和和与两个数的与两个数的差差的的乘积乘积，等，等于这两

2、个数的于这两个数的平方差平方差。两个数的两个数的平方差平方差，等于这两个数，等于这两个数的的和和与这两个数的与这两个数的差差的的乘积乘积.平方差公式：平方差公式：（）公式左边：（）公式左边：（是一个将要（是一个将要被分解因式被分解因式的多项式）的多项式）被分解的多项式含有被分解的多项式含有两项两项，且这两项，且这两项异号异号，并且能写成并且能写成（）（）（）（）的形式。的形式。(2)公式右边公式右边:（是（是分解因式的结果分解因式的结果）分解的结果是两个分解的结果是两个底数底数的的和和乘以乘以两个两个底数底数的的差差的形式。的形式。)(22bababa-+=- -a2-b2=(a + b)(a - b)例例：16a2-1=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1)下列多项式能否用下列多项式能否用平方差公式平方差公式分解因式分解因式？说说你的理由。说说你的理由。（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2 (3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2 (5) a2-4 (6) a2+3能用平方差公式分解因式的能用平方差公式分解因式的多项式的特征：多项式的特征：1 1、由由两部分两部分

3、组成；组成；2 2、两部分两部分符号相反符号相反； 3 3、每部分都能写成某个式子的每部分都能写成某个式子的平方平方。能能能能能能不能不能不能不能不能不能运用运用a2-b2=(a+b)(a-b)例例1:把下列各式分解因式把下列各式分解因式：(1)x2-4y2(2)x2+1(3)x4-1平方差公式平方差公式:a:a2 2-b-b2 2 =(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b) 分解因式分解因式 x x4 4 - - 1 1 a2- b2 =(a +b)(a - b) a2 -b2 (x)2-1=(x+1)(x2-1)1.解解:原式原式=(x+1)(x+1)(x-1)ma+mbma+mb+mc+mc=m(a+b=m(a+b+c+c) ) m m是各项的公因式是各项的公因式a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)合作合作学习学习例例2.分解因式分解因式3x3-12xy2(2)提取公因式后提取公因式后,多项式还能继续分解因式多项式还能继续分解因式吗吗?3x3-12xy2=3x(x2-4y2)3x3-12xy2=3x(x2-4y2) =(1)能分解因式吗能分解因

4、式吗?用什么方法用什么方法?注意注意: 1.一般地一般地,因式分解时有公因式先提公因因式分解时有公因式先提公因式式 2.因式分解时要分解彻底。因式分解时要分解彻底。(2y)23x(x+2y)(x-2y)=(a2+4)(a+2)(a-2)=x(x+6y)(x6y)31=(x-y)(m+n)(m-n)尝试练习尝试练习：a2b2=(ab)(ab)看看谁谁快快又又对对=(m+3)(m3)（1）m291（2）-a4+162(3)x3-12xy2313(4)m2(x-y)+n2(y-x)4参照对象参照对象：)(22bababa-+=- -2006220052=（2mn）2- - ( 3( 3xy)xy)2 2 =(x+z)2- - ( (y+z)y+z)2 2 =结论：结论：公式中的公式中的a、b无论表示无论表示数数、单项式单项式、还是、还是多多项式项式，只要被分解的多项式能，只要被分解的多项式能转化转化成成平方差平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。的形式，就能用平方差公式因式分解。正确率正确率+速度速度=效率效率(2) 0.01s2-t2(1) 16-a2(4) -1+9x2(5) (a-b

5、)2-(c-b)2(6) -(x+y)2+(x-2y)2解解: :原式原式=(4+a)(4-a)=(4+a)(4-a) 解解: :原式原式=(0.1s+t)(0.1s-=(0.1s+t)(0.1s-t)t)解解: :原式原式=(3x-=(3x-1)(3x+1)1)(3x+1)解解: :原式原式=(a-c)(a+c+2b)=(a-c)(a+c+2b)解解: :原式原式=-3y(2x-=-3y(2x-y)y)a2-b2=(a+b)(a-b) (1)能提取公因式。能提取公因式。993-99 =99(992-1) （2）还能继续分解）还能继续分解 993-99=99(99+1)(99-1) =99x100x98解：解： 4x3y-9xy3 =xy(4x2-9y2)1、请问请问993-99能被能被100整除整除？温馨提示：温馨提示：（1）能否提取公因）能否提取公因式？（式？（2）提取公因式后，还能）提取公因式后，还能 继续分解因式吗？继续分解因式吗？2、怎样把多项式怎样把多项式4x3y-9xy3分解因式分解因式？=xy(2x)2-(3y)2=xy(2x+3y)(2x-3y)结论：结论：993-9

6、9能被能被100整除。整除。 记得要提取公因式！记得要提取公因式！1、分解因式、分解因式4x2y2=(4x+y)(4x-y )诊断分析：诊断分析：公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项，公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项， 4x2y2中中4x2 相当于相当于a2 ,则则2x相当于相当于“a”.2、分解因式、分解因式x4y4=(x2+y2)(x2y2) (4a+5b)2(2a-b)2=(6a+4b)(2a+6b)诊断分析：诊断分析：综合运用提取公因式，公式法公解因式时，提公因式后，综合运用提取公因式，公式法公解因式时，提公因式后，另一个因式还可以继续分解，同学们千万要注意分解完另一个因式还可以继续分解，同学们千万要注意分解完毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。正确分解：正确分解：4x2y2=(2x+y)(2x-y )=(x2+y2) (x+y)(x-y )问题在问题在哪里？哪里？=4 (3a+2b)(a+3b)补充分解：补充分解：通过本节课的学习通过本节课的学习,你有哪些收获你有哪些收获?分解因式的步骤步骤：(1)优先考虑提取公因式法(2)

7、其次看是否能用公式法 （如平方差公式）(3)务必检查是否分解彻底了1、作业本、作业本6.32、课内作业、课内作业作业：作业：1.分解因式：分解因式：（1）4x3-x(2)a4-81（3）(3x4y）2（4x+3y）2（4）16（3m2n）225（mn）22、计算、计算（1）99929982（2）252652135225b米b米 a米(a-2b)米(a+2b)米 a 米从前有一位张老汉向地主租了一块从前有一位张老汉向地主租了一块“十字十字型型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块一块相同面积相同面积的的长方形长方形土地。土地。同学们，你能同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？ 在日常生活中如上网等都需要密码在日常生活中如上网等都需要密码. .有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译. .例如例如用多项式用多项式x x4 4-y-y4 4因式分解的结果来设置密码因式分解的结果来设置密码, , 当取当取x=9,y=9x=9,y=9时时, ,可得可得一一

8、个六位数的密码个六位数的密码“018162018162”.”.你想你想知道这是怎么来的吗知道这是怎么来的吗? ?小明选用多项式小明选用多项式4x4x3 3-xy-xy2 2，取，取x=10,y=10x=10,y=10时。用上述时。用上述方法产生的密码是什么方法产生的密码是什么? ?( (写出一个即可写出一个即可) ) 杭州湾跨海大桥打下的一根用特殊材料制成的桩管杭州湾跨海大桥打下的一根用特殊材料制成的桩管( (横截面如图所示横截面如图所示),),它的外半径为它的外半径为R R米米, ,内半径为内半径为r r米米. .已知已知外半径与内半径和为外半径与内半径和为2 2米米, ,外半径与内半径差为外半径与内半径差为0.30.3米米, ,求横截面面积求横截面面积( (结果保留结果保留 ) )Rr英国数学家狄摩根在青年时代英国数学家狄摩根在青年时代, ,曾有人他曾有人他:“:“今今年多大年龄？年多大年龄？”狄摩根想了想说：狄摩根想了想说：“今年，我今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是的年龄和我弟弟年龄的平方差是141141，你能算，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根假设狄摩根的年龄为的年龄为x x岁，他弟弟的年龄为岁，他弟弟的年龄为 y y岁，你能算岁，你能算出他们的年龄吗？出他们的年龄吗？

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