《自动控制原理》时域分析法

1、第3章 时域分析法本章主要内容本章主要内容 3.1 3.1 经典控制过程及性能指标经典控制过程及性能指标 3.2 3.2 一阶系统分析一阶系统分析 3.33.3二阶系统分析二阶系统分析 3.4 3.4 稳定性与代数判据稳定性与代数判据 3.53.5稳态误差分析及误差系数稳态误差分析及误差系数 1/763.1 经典控制过程及性能指标 3.1.1 3.1.1 经典输入信号及输出波形经典输入信号及输出波形 3.1.2 3.1.2 控制系统性能指标控制系统性能指标什么是时域分析?指控制系统在一定输入下，依据输出量时域表指控制系统在一定输入下，依据输出量时域表示式，分析系统稳定性、瞬态和稳态性能。示式，分析系统稳定性、瞬态和稳态性能。2/763.1.1 3.1.1 经典输入信号及输出波形经典输入信号及输出波形1）阶跃函数（信号）阶跃函数（信号）单位阶跃函数及拉氏变换单位阶跃函数及拉氏变换单位阶跃函数波形图单位阶跃函数波形图3/76（2）斜坡函数（信号）斜坡函数（信号）单位斜坡函数及拉氏变换单位斜坡函数及拉氏变换单位阶跃函数波形图单位阶跃函数波形图4/763）抛物线信号（加速度信号）抛物线信号（加

2、速度信号）单位抛物线信号及拉氏变换单位抛物线信号及拉氏变换单位阶跃函数波形图单位阶跃函数波形图5/764）脉冲函数（信号）脉冲函数（信号）单位脉冲函数及拉氏变换单位脉冲函数及拉氏变换单位脉冲函数波形图单位脉冲函数波形图和和6/765）正弦函数（信号）正弦函数（信号）单位正弦函数及拉氏变换单位正弦函数及拉氏变换单位正弦函数波形图单位正弦函数波形图Awtr(t)7/76 单位脉冲函数响应单位脉冲函数响应：单位阶跃函数响应单位阶跃函数响应：单位斜坡函数响应单位斜坡函数响应：单位抛物线函数响应：单位抛物线函数响应：经典响应：提醒：上述几个经典响应有以下关系：单位脉冲单位脉冲函数响应函数响应单位阶跃单位阶跃函数响应函数响应单位斜坡单位斜坡函数响应函数响应单位抛物线单位抛物线函数响应函数响应积分积分积分积分积分积分微分微分微分微分微分微分8/763.1.23.1.2控制系统性能指标控制系统性能指标在经典信号作用下，控制系统时间响应是由动态过在经典信号作用下，控制系统时间响应是由动态过程和稳态过程两部分组成。程和稳态过程两部分组成。所以控制系统性能指标，所以控制系统性能指标，通常由动态性能和稳态性能

3、两部分组成。通常由动态性能和稳态性能两部分组成。1.1.动态过程和动态性能动态过程和动态性能 动态过程动态过程（过渡过程、暂态过程）：在经典输入（过渡过程、暂态过程）：在经典输入信号作用下，系统从初态到终态响应过程。信号作用下，系统从初态到终态响应过程。动态响应过程有三种情况动态响应过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡型：衰减型、发散型、等幅振荡型动态性能动态性能：当系统时间响应：当系统时间响应c(t)中瞬态分量较大而不能忽略时，中瞬态分量较大而不能忽略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统特征。称系统处于动态或过渡过程中，这时系统特征。9/76阶跃响应性能指标阶跃响应性能指标：在测定或计算系统动态性能指标时，因为阶跃函数能在测定或计算系统动态性能指标时，因为阶跃函数能够表征系统受到最严峻工作状态，动态性能指标，普够表征系统受到最严峻工作状态，动态性能指标，普通由通由阶跃响应性能指标来描述。阶跃响应性能指标来描述。10/76（1）延迟时间 ：输出响应第一次到达稳态值输出响应第一次到达稳态值50%所需所需时间。时间。（4）最大超调量（简称超调量）：式中：式中：-输出响应最大值；输出

4、响应最大值；-稳态值；稳态值；（2）上升时间 ：输出响应第一次到达稳态值输出响应第一次到达稳态值y()所需时所需时间。或指由稳态值间。或指由稳态值10%上升到稳态值上升到稳态值90%所需时间。所需时间。输出响应超出稳态值到达第一个峰值输出响应超出稳态值到达第一个峰值ymax所需要时间。所需要时间。（3）峰值时间 ：（5）调整时间或过渡过程时间 ：当当 和和 之间误差到达要求范围之内之间误差到达要求范围之内比如比如 或或 ，且以后不再超出此范围最小时间。，且以后不再超出此范围最小时间。11/76在上述几个性能指标中，在上述几个性能指标中，表示瞬态过程进行快慢，是快速表示瞬态过程进行快慢，是快速性指标；而性指标；而 反应瞬态过程反应瞬态过程振荡程度，是振荡性指标。其中振荡程度，是振荡性指标。其中 和和 是两种最惯用性能指标。是两种最惯用性能指标。2.2.稳态过程和稳态性能稳态过程和稳态性能 稳稳态态过过程程是是指指当当初初间间t趋趋近近于于无无穷穷大大时时，系系统统输输出出状状态态表表现现形形式式。它它表表征征系系统统输输出出量量最最终终复复现现输输入入量量程程度度，提提供供系系统统相相关

5、关稳稳态态误误差信息，用稳态性能来描述。差信息，用稳态性能来描述。通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下系统稳态通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下系统稳态误差；稳态误差用来衡量系统控制精度或抗扰动性能。误差；稳态误差用来衡量系统控制精度或抗扰动性能。ess=c期望-c（）12/763.2 一阶系统分析 3.2.1 3.2.1 一阶系统数学模型一阶系统数学模型 3.2.2 3.2.2 一阶系统单位阶跃系统一阶系统单位阶跃系统 3.2.3 3.2.3 一阶系统单位斜坡系统一阶系统单位斜坡系统 3.2.4 3.2.4 一阶系统单位脉冲系统一阶系统单位脉冲系统 3.2.5 3.2.5 三种响应之间关系三种响应之间关系13/763.2.13.2.1一阶系统数学模型一阶系统数学模型以以一一阶阶微微分分方方程程作作为为数数学学模模型型控控制制系系统统，称称为为一一阶系统。如图所表示一阶系统，其传递函数为阶系统。如图所表示一阶系统，其传递函数为-其闭环传递函数为：其闭环传递函数为：式中，式中，,称为时间常数。称为时间常数。14/763.2 2 3.2 2 一阶系统单位阶跃响应一阶系统单位阶跃响应

6、单位阶跃响应函数单位阶跃响应函数：15/76其单位阶跃响应曲线如图其单位阶跃响应曲线如图3-4所表示。输出响应从零开始按指数所表示。输出响应从零开始按指数规律上升，最终趋于规律上升，最终趋于1。16/76计算调整时间计算调整时间 ：解之得：解之得：可见，调整时间只与时间常数可见，调整时间只与时间常数T相关。相关。T越小，系越小，系统响应速度越快。统响应速度越快。17/763.2.33.2.3一阶系统单位斜坡响应一阶系统单位斜坡响应设设系系统输统输入信号入信号为单为单位斜坡函数，即位斜坡函数，即 。则则可求得可求得输输出拉氏出拉氏变换为变换为 18/76c(t)T0Tt一阶系统单位斜坡响应曲线如图一阶系统单位斜坡响应曲线如图 输输出出量量和和输输入入量量之之间间位位置置误误差差随随时时间间而而增增大大，最最终终趋趋于于常常值值T，惯惯性性越越小小，跟踪准确度越高。跟踪准确度越高。19/763.2 4 3.2 4 一阶系统单位脉冲响应一阶系统单位脉冲响应当当输输入入信信号号为为理理想想单单位位脉脉冲冲函函数数时时，因因为为R(s)=1所所以以系统输入量拉氏变换与系统传递函数相同，即系统输入

7、量拉氏变换与系统传递函数相同，即这时系统输出称为脉冲响应，其表示式为这时系统输出称为脉冲响应，其表示式为 可见，单位脉冲响应中只包含瞬态分量。可见，单位脉冲响应中只包含瞬态分量。20/763.2 5 3.2 5 三种响应之间关系三种响应之间关系从从输输入入信信号号看看，单单位位斜斜坡坡信信号号导导数数为为单单位位阶阶跃跃信信号号，而单位阶跃信号导数为单位脉冲信号。而单位阶跃信号导数为单位脉冲信号。从输出信号来看，单位斜坡响应导数为单位阶跃响应，从输出信号来看，单位斜坡响应导数为单位阶跃响应，而单位阶跃响应导数为单位脉冲响应。而单位阶跃响应导数为单位脉冲响应。线性定常系统一个主要性质：某输入信号导数输出响线性定常系统一个主要性质：某输入信号导数输出响应，就等于该输入信号输出响应导数；同理，某输入应，就等于该输入信号输出响应导数；同理，某输入信号积分输出响应，就等于该输入信号输出响应积分，信号积分输出响应，就等于该输入信号输出响应积分，积分常数由零输出初始条件确定。积分常数由零输出初始条件确定。21/763.3 二阶系统分析 3.3.1 3.3.1 二阶系统数学模型二阶系统数学模型 3.3

8、.23.3.2二阶系统单位阶跃响应二阶系统单位阶跃响应 3.3.33.3.3高阶系统时域分析高阶系统时域分析 22/763.3.1 3.3.1 二阶系统数学模型二阶系统数学模型二二阶阶系系统统：以以二二阶阶微微分分方方程程作作为为运运动动方方程程控控制制系系统统.这这是是最最常常见见一一个个系系统统，很很多多高高阶阶系系统统也也可可简简化化为为二二阶阶系统。系统经典系统。系统经典 结构和传递函数为：结构和传递函数为：称为经典二阶系统传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。-23/76特征根为：，注意：当 不一样时，（极点）有不一样形式，其阶跃响应形式也不一样。极点分布如图所表示：特征方程为：当初 ，特征方程有一对共轭虚根，称为零(无)阻尼系统，系统阶跃响应为连续等幅振荡。当初 ，特征方程有一对实部为负共轭复根，称为欠阻尼系统，系统阶跃响应为衰减振荡过程。当 时，特征方程有一对相等实根，称为临界阻尼系统，系统阶跃响应为非振荡过程。当 时，特征方程有一对不等实根，称为过阻尼系统，系统阶跃响应为非振荡过程。24/7625/763.3.2 3.3.2 二阶系统单位阶跃响应二阶系

9、统单位阶跃响应当输入为单位阶跃函数时，当输入为单位阶跃函数时，有：，有：分析：，极点为极点为：1.欠阻尼情况26/76极点负实部极点负实部 决定了指数衰减快慢，虚部决定了指数衰减快慢，虚部 是振荡频率。称是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。其周期为为阻尼振荡圆频率。其周期为:27/762.无阻尼情况极点为：此时输出将以频率此时输出将以频率 做等幅振荡，所以，做等幅振荡，所以，称为无阻尼振称为无阻尼振荡圆频率荡圆频率。3.临界阻尼情况极点为：阶跃响应函数为：阶跃响应函数为：28/764.过阻尼情况极点为：其中，其中，A1、A2、A3为待定系数。据此，可求得输出响应拉氏反为待定系数。据此，可求得输出响应拉氏反变换变换 此时，系统输出时间此时，系统输出时间t单调上升，无振荡和超调。因为输出单调上升，无振荡和超调。因为输出响应含负指数项，因而伴随时间推移，对应分量逐步趋于零，响应含负指数项，因而伴随时间推移，对应分量逐步趋于零，输出响应最终趋于稳态值输出响应最终趋于稳态值1。29/76 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应以下表

10、所表示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根 经典两阶系统瞬态响应经典两阶系统瞬态响应30/76经典两阶系统瞬态响应经典两阶系统瞬态响应能够看出：伴随 增加，c(t)将从无衰减周期运动变为有衰减正弦运动，当 时c(t)展现单调上升运动(无振荡)。可见 反应实际系统阻尼情况，故称为阻尼系数。31/765.欠阻尼二阶系统性能指标(1)上升时间上升时间 ：依据定义，当：依据定义，当 时，时，。(2)峰值时间峰值时间 ：当：当 时，时，32/7633/76(3)超调量超调量:上上式式表表明明超超调调量量%大大小小只只决决定定于于阻阻尼尼比比值值，而而与与 大大小小无无关关。工工程程中中，有有时时把把阻阻尼尼比比和和%之之间间关关系系，按按计计算算结结果果，直直接接整整理理成成曲曲线线如如图图所所表表示示，应应用用时时由由直直接接查该图即可得查该图即可得%。34/76(4)调整时间调整时间 ：35/76例例3-13-1有一位置随动系统，其结构图如图所表示，其中有一位置随动系统，其结构图如图所表示，其

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