历年河南理工大学高等数学下试题答案.pdf

1 河南理工大学2012 级高等数学 下 期末试卷一、填空（每小题4 分，共 24 分）1函数22ln(1)zxy的定义域是，函数在是间断的 . 2设函数22sin()zxy，则zx，zy . 3函数23zxxy在 点（ 1，2）处沿x轴负方向的方向导数等于 . 4设2222: xyza，则曲面积分222()xyz dS= . 5设:11,02Dxy，则二重积分2Dx yd= . 6如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之为解. 二、解答下列各题（每小题6 分，共 18 分）1求函数22axbyze（,a b为常数）的全微分. 2求曲面2220 xyz在点(1,1,3)处的切平面方程和法线方程. 3求微分方程(1)xxeyye的通解 . 三、解答下列各题（每小题6 分，共 18 分）1设( ),zxyxF u而,()yuF ux为可导函数，试计算zzxyxy. 2计算三重积分,.zdxdydz其中是由曲面222zxy及22zxy所围成的闭区域 . 3 计 算 曲 面 积 分xyzdydz， 其 中是 柱 面222(0)xyax介 于 平 面0y及(0)yh h之间部分的前侧。

四、 （ 12 分）求微分方程3 2cosyyyx的通解 . 五、 （ 12 分）求曲线积分22(1),(1)Lydxxdyxy其中：（ 1） （8 分）L为圆周2220 xyy的正向 . （ 2） （4 分）L为椭圆22480 xyx的正向六、 （ 10 分）求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积. 七、 （ 7 分）讨论函数22223222220( , )()00 x yxyf x yxyxy在（ 0，0）处的连续性. 2 河南理工大学2011 级高等数学（下）期末试卷一填空题（每小题4 分，共 40 分）1设函数33zx yy x，则全微分dz2设函数(,),ufxy xyf具有一阶连续偏导数，则ux3二重积分1200( , )yIdyf x y dx，改变积分次序后I= . 4直角坐标系下的三次积分3222111222110)xxyxIdxdyfxyzdz化为球坐标系下的三次积分I= 5若区域2222: xyzR，则三重积分xyzdxdydz= 6当= 时，(2 )()xy dxxy dy为某二元函数(,)u x y的全微分 . 7曲线积分22()LIxy dx，其中L 是抛物线2yx上从点(0,0)A到(2,4)B的一段弧，则I= . 8当为xoy面内的一个闭区域D时，曲面积分与二重积分的关系为( , )f x y z dS= . 9二阶常系数齐次线性微分方程20yyy的通解为y= 10. 二阶常系数非齐次线性微分方程2 2xyyye的特解形式为y*= 二 （ 10 分）( , )u v具有连续偏导数，证明由方程(,)0cxaz cybz所确定的函数( ,)zf x y满足zzabcxy三 （ 10 分）由锥面22zxy及抛物面22zxy所围立体体积四 （ 10 分）求螺旋线cos ,sin,xayazb在( ,0,0)a处的切线方程及法平面方程. 五、 （ 10 分）利用高斯公式计算曲面积分11()()xxIfdydzfdzdxzdxdyyyxy，其中( )f u具有二阶连续导数，为上半球面222zaxy与0z所围成空间闭区域的整个边界曲面的外侧. 六 （ 10 分）设曲线积分2()2( )Lyf x dxxfxxdy在右半平面(0)x内与路径无关，其中()f x可导且(1)1f，求( )fx. 七 （ 10 分）二阶常系数非齐次线性微分方程2 33yyyx，求其通解 . 河南理工大学2010 级高等数学 下 期末试卷一填空题（每小题4 分，共 32 分）3 1设函数2()yztgx，则zx，zy . 2曲线2233,xtytzt在(1,1,1)M处的切线方程为. 3交换二次积分次序，2220( , )yydyf x y dx . 4设L为右半圆周：221(0)xyx，则曲线积分LIyds . 5设为平面1234xyz在第一卦限中的部分，则曲面积分()234xyzdS . 8求微分方程229200d ydyydxdx的通解为 . 二解答下列各题（每小题7 分，共 35 分）1设0,zexyzdz求. 2讨论函数22(1)2zxy是否有极值4求微分方程sin( )1dyxyxdxy的特解 . 5求微分方程1yy的通解 . 三 （11 分）利用格林公式计算曲线积分(1cos )(sin2 )xxLIey dxeyx dy，其中L为从原点(0,0)0OA到 （ ， ）的正弦曲线sinyx. 四 （ 11 分）利用高斯公式计算曲面积分23Iydydzx dzdxz dxdy，其中是球面2222xyza的内侧 . 五 （ 11 分）求由锥面22zxy及旋转抛物面22zxy所围成的立体的体积. 河南理工大学2009 级高等数学 下 期末试卷一填空题（每小题4 分，共 32 分）1设函数(),yzffx可微，则zzxyxy . 2曲线2233,xtytzt 在t=1处的法平面方程为： . 3设区域D由,2yx x及1yx所围，则化二重积分(,)DIf x y d为先xy后的二次积分后的结果为 . 4 4设L为圆弧：222,0 xyy，则曲线积分22()LIxyds . 5设22:(01)zxyz，则曲面积分2Ids= . 8二阶常系数非齐次线性微分方程324 12 9xyyye的特解形式为y*= .（不要求计算）二解答下列各题（每小题7 分，共 28 分）1求函数z=(,)0yxFzz，其中F具有一阶连续偏导数，求dz. 2讨论224()zxyx y的极值 . 4求微分方程1cossin2dydxxyy的通解 . 三 （ 10分 ） 设L为222(0)xyaa沿 顺 时 针 方 向 的 上 半 圆 ， 计 算 曲 线 积 分22LIxy dyx ydx. 四 （ 10 分）求由球面2222()xyzaa及222zxy所围成的立体的体积. 五 （ 10 分）利用高斯公式计算曲面积分242Ixzdydzy dzdxyzdxdy，其中是球面2221xyz外侧的上半部分. 六、 （ 10 分）求( )f x，使曲线积分2 (2)( ) ( )LIyxyf x y dxx yfx dy与路径无关，其中()f x具有二阶连续导数，且(0)0,(0)1ff. 河南理工大学2008 级高等数学 下 期末试卷一填空题（每小题4 分，共 32 分）1设函数44224,zxyx y则2zx y . 2设xyze，则dz . 3曲线12212 ,2,xt ytztt在 =1处的法平面方程为 . 4交换二次积分次序，则2220( , )yydyf x y dx . 5设L为圆周：222xya，则曲线积分22()nLIxyds . 6当为xoy平面内的一个闭区域D时，则曲面积分dS . 7微分方程ln0 xyyy的通解为 . 8微分方程6 130yyy的的通解为 . 5 二解答下列各题（每小题7 分，共 28 分）1( ,)zz x y由方程,0cxaz cy bz所确定， 其中具有连续的偏导数，求,zzxy. 2计算二重积分(),Dxy d其中D是由21,yyx所围成的闭区域. 3利用高斯公式计算曲面积分222(3)(2)Ixz dydzx ydzdxy z dxdy，其中是球面2222xyza的外侧 . 4求微分方程226dxyxydy的通解 . 三 （ 10 分）某厂要用铁板做成一个体积为34m的无盖长方形水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省. 四 （ 10 分）求由曲面22zxy及228zxy所围成的立体的体积. 五 （ 10 分）微分方程2 2xyyye的通解 . 六 （ 10 分）曲线积分2( )Lxy dxyx dy与路径无关，其中( )x具有连续的导数，且(0)0，计算(1,1)2(0,0)( )xy dxyx dy. 河南理工大学2007 级高等数学 下 期末试卷一、填空题（每小题3 分，共 30 分）（1）设33223zxyx y，则22_zx. （2）设33zx yy x，则全微分_dz. （3）曲线22332,3,xtytzt在(2,3,1)M处的切线方程为 . （4）交换二次积分次序，则1200( , )ydyf x y dx . （5） 设有曲线：yx的起点为（0， 0） ， 终点为（1， 1） 则曲线积分：Lyds .（6）设曲面是锥面22(0)zaxya在柱面222xya内部那一部分上侧，则曲面积分22()IzxydS . （7）设( ,)f x y具有连续偏导数，且221( ,)1,(,),f x xfx xx则22( ,)fx x . （8）当时，(2 )()xy dxxy dy为某二元函数( ,)u x y的全微分 . (9) 微分方程0 xxye dxe dy的通解为(10) 微分方程22690d ydyydxdx的通解为6 二 （ 7 分）设2222230,;.zzxyzzxx求. 三 （7 分）利用拉格朗日乘数法求解问题：从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 四（7 分） 利用适当的坐标计算积分22,Dxdxdyy其中D是由直线：2,xyx及曲线1xy所围城的闭区域. 五 （ 10 分）利用高斯公式计算曲面积分：333,Ix dydzy dzdxz dxdy其中是曲面222zaxy上侧 .六 (10 分) 利用格林公式，计算曲线积分：(24)(536),Lxydxyxdy其中L为三顶点分别为（0，0） 、 （3，0）和（ 3，2）的三角形正向边界. 七 (10 分) 求由抛物面221()2zxy与平面1z所围成空间闭区域内的立体的质量，已知此立体的体密度为:(, ).x y zz八 (10 分) 二阶常系数非齐次线性微分方程65yyyx，求其通解 . 九 （ 9 分）设曲线积分2231( ) ()22Lyx dxxxydy与路径无关 , 其中()x具有连续的一阶导数 , 且当其为起点在O（0，0）终点为B（1，1）的有向曲线时， 该曲线积分值等于1,4求函数()x. 河南理工大学2006 级高等数学 下 期末试卷一、填空题（每小题3 分，共 30 分）（1）设( , )ufx y z,sinyx，2zx,f具有一阶连续偏导数，则dudx（2）设2sin2xyze，则全微分dz（3）曲面23zzexy在点(1,2,0)处的切平面方程为（4）交换二次积分次序，则211( , )xdxf x y dy（5）计算二重积分的值4Dxydxdy，其中: 01, 01Dxy（ 6）曲线L 为球面2222xyza与平面xy相交的圆周，其中0a，则曲线积分222Lyz ds（7）设曲面是在柱面222xya(0)a上介于;zh zh (0)h的部分，则曲面积分Ids7 （8）当a时，曲线积分3222(cos )(12 sin3)Laxyyx dxyxx ydy与路径无关 . （9）微分方程2xdyybedx（b为常数）的通解为（10）微分方程2290d yydx的通解为二、 （ 8 分）已知三个正数,x y z之和为 12，求32ux y z的最大值 . 三、 （8 分）计算二重积分sinDxdxdyx的值，其中D是由直线yx及曲线2yx所围成的闭区域 . 四、 （ 10 分）求旋转抛物面222zxy与锥面22zxy所围立体的体积. 五、 （ 10 分）求(24)(536)Lxydxyxdy，其中 L 为顶点坐标分别是(0,0)，(3,0)，(3, 2)的三角形的正向边界. 六、 （ 10 分）利用高斯公式计算曲面积分：323232()()()xazdydzyaxdxdzzay dxdy，其中是曲面222zaxy的上侧(0)a. 七、 （ 10 分）求二阶常系数非齐次线性微分方程44axyyye的通解（其中a 为常数） . 八、 （ 10 分）设()f x具有一阶连续导数，且()1。