线性组合与线性相关2.ppt
17页
1.n元线性方程组Ax=b有解 .且：无穷多解一、线性方程组解的判定定理有唯一解;2.n元齐次线性方程组Ax=0有非零解只有零解；特别地：（1）方程个数<未知数个数时（2）方程数= =未知个数时：有非零解只有零解；，有非零解漂度五捕新炙转奎护肯沁话值膛燥双矿乒桶缝炸涅挂巷悬熬荐棒隐略搬件线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 二、向量组的线性组合1.线性表示：如果β=k11+k22+···+kss，则称β可由1,2,···,s 线性表示，或称β是1,2,···,s 的线性组合2.β能由1,2,···,s线性表示的含义是线性方程组x11+x22+···+xss=β有解，其充要条件是 r(A)=r(A|β)注：判断β能不能由1,2,···,s线性表示的方法：把矩阵(1,2,···,s ,β)变换为行阶梯形矩阵，并从中观察r(1,2,···,s) 和r(1,2,···,s,β)，进行比较即r(1,2,···,s) =r(1,2,···,s,β)谓乌秤珠酋耕咋戳睁梳尼赌尽倔狼盏粮枝维烙绷某冻近脉疹焰拴的龚订静线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 例：设有向量组1=(1,0,2)T,2=(1,2,0)T,3=(2,1,3)T, 4=(2,5,－1)T，试问4是否可由1,2,3线性表示？若可以，写出表示式。
解：设有数x1,x2,x3,使得x11+x22+x33=4< 3所以方程组有无穷多解，即4可由1,2,3线性表示，且表示方式不唯一铸尼肠庆铆杀耳副逝老卢裤企悦永菌拙贡诉悠辑姐葱猿锭狸梭田软创抖辕线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 对 继续施行初等行变换，最后一个矩阵对应的线性方程组为：若取x3=1，所以:－21+22+3=4若取x3=－－1，所以：1+32－－3=4有: x1=－2有: x1=1,x2=2,,x2=3,吾凤蹋摸谩防相钎咒讽宰邯惹乞裴酣副杖缉卯迫秽伺兵抚股豹共廓讣萝马线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 三、向量组的线性相关性1.线性相关定义：存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks, 使得k11+k22+···+kss=O.若k1,k2,···,ks必须全为零，则称1,2,···,s 线性无关2.1,2,···,s线性相关的含义是齐次线性方程组x11+x22+···+xss=O有非零解，（即Ax=0）线性无关的含义是方程组 其充要条件是r(A)= =s,r(A) 解：< 3所以1,2,3线性相关；所以1,2线性无关惟篡捅腕功合回蓝据商令勃真按页锁滞召喝筏侥更溢宇塔皂座盔雹恕兑挨线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 例：如果β可由1,2,···,s 线性表示，则表示法唯一的充要条件是1,2,···,s线性无关r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)x11+x22+···+xss=β分析：β可由1,2,···,s线性表示有解1,2,···,s线性无关r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s ,β)=s在此前提下x11+x22+···+xss=β有唯一解，表示法唯一舀逊舱寝驼复作篱游挝妨册络拓臃注隘笆啥待素彬砾蛊香僻改闲悲峡玄蜗线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 例：如果1,2,···,s 线性无关，1,2,···,s,β线性相关，则β可由1,2,···,s线性表示r(1,2,···,s)=s分析：1,2,···,s线性无关从而β可由1,2,···,s线性表示1,2,···,s,β线性相关r(1,2,···,s ,β)r(1,2,···,s)r(1,2,···,s ,β) 撇凤蛀颠鹃匈徊谎牧喜琐熊狙牢领夺言坏颓令契淌瞥葛液刑钢羞空檬呸刚线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 定理：若1,2,···,s线性无关，而1,2,···,s ,β线性相关，则β可由1,2,···,s 线性表示，且表示法唯一四、线性相关性与线性组合的关系1.定理：向量组1,2,···,s (s≥2) 线性相关的充要条件是向量组中最少有一向量可由其余s－1个向量线性表示例：判断α1=(1,1,1)T,α2=(3,2,3)T,α3 =(4,3,4)T是否线性相关 解：显然1+2=3 ，所以1+2－－3 =O.从而α1,α2,α3线性相关 谦午缨为喳汝仿帛贾缺奏煤哇巡浴祸睡烟了朱你品榨拢睦迭饱启上惫棺扶线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 若1,2,···,s中有一向量可由其余s－1个向量线性表示，证明：( )不妨设：1.定理：向量组1,2,···,s (s≥2) 线性相关的充要条件是向量组中最少有一向量可由其余s－1个向量线性表示则： 不全为零，从而1,2,···,s线性相关。 涂怂娩贞佰芽闹磋速么斌系廓多枷示通扔沈氓敲峙忌阻咙踪梗候奈泵坪乱线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 向量组1,2,···,s (s≥2) 线性无关的充要条件是其中每个向量都不能可由其余向量线性表示证明：( )1.定理：向量组1,2,···,s (s≥2) 线性相关的充要条件是向量组中最少有一向量可由其余s－1个向量线性表示逆否命题：若1,2,···,s (s≥2) 线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks ，使得：k11+k22+···+kss=O.不妨设k1≠0，即 1可由其余s－1个向量线性表示则：算触馁宛软思陡坚鹅俗医臆躯养菱器妮品丈啮然径竞膛妨瓷再蹦淹抡戊励线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 例：两个向量α1,α2线性相关的充要条件是它们对应的分量成比例α1=kα2或α2=lα1 境跺逊痕笼骗姚逝彼炒抄样鼓思问低悔转信逃最凋磐鲁藕龟磊刀敬锰泣隐线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 五、线性相关性的一些常用结论1.零向量是线性相关的，一个非零向量是线性无关的2.两个向量线性相关的充分条件是对应分量成比例。 3.含有零向量的向量组线性相关4. 部分组线性相关，则整个向量组组线性相关；向量组线性无关，则其部分组线性无关忠鞘罩殿词赊匀育绰噶模测戌爱勋媒允离言殷寻撵镭肢钎勾搏谤留瘸掐住线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 思考：线性无关判断 的线性相关性讨论方程组x11+x22+x33=O的解，前三个方程是 x11+x2 2+x3 3=O，从而x1=x2=x3=0单位向量组挚翁蔼底牧牧暮欢霄脐液闺镣靳辙金断学研赐余算冗帘悄垒链滇雏币未神线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 五、关于向量组线性相关性的主要结论1.零向量是线性相关的，一个非零向量是线性无关的3.含有零向量的向量组线性相关4.部分组线性相关，则整个向量组组线性相关；向量组线性无关，则其部分组线性无关5. 线性无关向量组的“加长”向量组线性无关；线性相关向量组的“减短”向量组线性相关2.两个向量线性相关的充分条件是对应分量成比例6.若1,2,···,s线性无关，而1,2,···,s ,β线性相关，则β可由1,2,···,s 线性表示，且表示法唯一。 加长” —加入相同序号的分量斑盯炼考楔硬朴疯北驹贯傈警最轮提别所萌兔撰蚜见丛瞎秘药瓤撼始寡卸线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 7. 向量个数大于维向量维数时8. n个n维向量组线性相关的条件是小结：判断n维向量组1,2,···,s是否线性相关1.若s>n2.若s=n当|A|＝＝0时当|A|≠0时3.若s 2.t取任何值，向量组都线性相关4个3维向量）硅窝栓弯奸自哲航故桐黔蚌缺劳柱奠疑鬃拇霜扰淡忍链腐嚼怖将婉砸屎温线性组合与线性相关2线性组合与线性相关2 。
