2022年中考数学压轴题精选附详细解答和评分标准.pdf

1、 （10 广东茂名 25 题） （本题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y=32x2+bx+c经过 A （0，4） 、B（x1，0） 、 C（x2，0）三点，且x2-x1=5（1）求b、c的值； （4 分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE 是以 BC 为对角线的菱形；（3 分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由 （3 分）解：解： （1）解法一：抛物线y=32x2+bx+c经过点 A（0， 4） ， c=4 1 分又由题意可知，x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个根，x1+x2=23b，x1x2=23c=6 2 分由已知得（x2-x1）2=25 又（x2-x1）2=（x2+x1）24x1x2=49b224 49b224=25 解得b=314 3 分当b=314时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=314 4 分解法二：x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个根，即方程 2x23bx+12=0 的两个根x=4969b32b， 2 分x2x1=2969b2=5，解得b=314 3 分（以下与解法一相同 ）（2）四边形BDCE 是以 BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上，5 分（第 25 题图）A x y B C O 又y=32x2314x4=32（x+27）2+625抛物线的顶点（27，625）即为所求的点D7 分（3）四边形BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（ 6，0） ，根据菱形的性质，点P 必是直线x=-3 与抛物线y=32x2-314x-4 的交点， 8 分当x=3 时，y=32 （ 3）2314 （ 3） 4=4，在抛物线上存在一点P（ 3，4） ，使得四边形BPOH 为菱形 9 分四边形 BPOH 不能成为正方形， 因为如果四边形BPOH 为正方形，点 P 的坐标只能是 （ 3， 3） ，但这一点不在抛物线上 10 分2、 （08 广东肇庆 25 题） （本小题满分10 分）已知点 A（a，1y） 、B（2a，y2） 、C（3a，y3）都在抛物线xxy1252上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当 a=1 时，求 ABC 的面积；（3）是否存在含有1y、y2、y3，且与 a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由 . 解： （1）由 5xx122=0 得01x，5122x （2 分）抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0） 、 （512，0） （3 分）（2）当 a=1 时，得 A（1，17） 、B（2，44） 、C（3，81） ，分别过点A、B、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E、F，则有ABCS=SADFC梯形-ADEBS梯形-BEFCS梯形 （5 分）=22)8117(-21)4417(-21)8144(（6 分=5（个单位面积） （7 分）（3）如：)(3123yyy （8 分）事实上，)3(12)3(523aay=45a2+36a3（12yy）=35 （2a）2+12 2a-（5a2+12a） =45a2+36a （9 分）)(3123yyy（10 分）3、 （08辽宁沈阳26 题） （本题 14 分） 26如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1AB，3OB，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60o后得到矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线2yaxbxc过点AED， ，（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （ 2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点OBPQ， ， ，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的 2 倍， 且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，y x O 第 26 题图D E C F A B 点Q的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）点E在y轴上理由如下：连接AO，如图所示，在RtABO中，1ABQ，3BO，2AO1sin2AOB，30AOBo由题意可知：60AOEo306090BOEAOBAOEoooQ点B在x轴上，点E在y轴上 3 分（2）过点D作DMx轴于点M1ODQ，30DOMo在RtDOM中，12DM，32OMQ点D在第一象限，点D的坐标为3 122， 5 分由（ 1）知2EOAO，点E在y轴的正半轴上点E的坐标为(0 2)，点A的坐标为(31)， 6 分Q抛物线2yaxbxc经过点E，2c由题意，将(31)A，3 122D，代入22yaxbx中得33213312422abab解得895 39ab所求抛物线表达式为：285 3299yxx 9 分（3）存在符合条件的点P，点Q 10 分理由如下：Q矩形ABOC的面积3AB BOg以OBPQ， ， ，为顶点的平行四边形面积为2 3由题意可知OB为此平行四边形一边，又3OBQOB边上的高为2 11分依 题 意 设 点P的 坐 标 为(2)m，Q点P在 抛 物 线285 3299yxx上285 32299mm解得，10m，25 38m1(0 2)P，25 328P，Q以OBPQ， ， ，为顶点的四边形是平行四边形，PQOB，3PQOB，当点1P的坐标为(0 2)，时，点Q的坐标分别为1(3 2)Q，2( 3 2)Q，；当点2P的坐标为5 328，时，点Q的坐标分别为313 328Q，43 328Q， 14 分4、 （08 辽宁 12 市 26 题） （本题 14 分）26如图 16，在平面直角坐标系中，直线33yx与x轴交 于 点A， 与y轴 交 于 点C， 抛 物 线22 3(0)3yaxxc a经 过ABC， ，三点（1）求过ABC， ，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3） 试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF的周长最小， 若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）Q直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C( 1 0)A，(03)C， 1 分Q点AC，都在抛物线上，y x O D E C F A B M A O x y B F C 图 16 2 3033acc333ac抛物线的解析式为232 3333yxx顶点4 313F， 4 分（2）存在1(03)P， 7 分2(23)P，9 分（3）存在 10 分理由：解法一：延长BC到点B，使B CBC，连接B F交直线AC于点M，则点M就是所求的点 11分过点B作B HAB于点HBQ点在抛物线232 3333yxx上，(3 0)B，在RtBOC中，3tan3OBC，30OBCo，2 3BC，在RtBB H中，12 32B HBB，36BHB H，3OH( 32 3)B，设直线B F的解析式为ykxb2 334 33kbkb解得363 32kb33 362yx 13 分3333 362yxyx解得3710 37xy，310 377M，在直线AC上存在点M，使得MBF的周长最小，此时310377M， 14 分5、 （08 青海西宁 28 题） 如图 14，已知半径为1 的1Oe与x轴交于AB，两点，OM为1Oe的切线，切点为M，圆心1O的坐标为(2 0)，二次函数2yxbxc的图象经过AB，两点A O x y B F C 图 9 H B M （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是否存在一点P，使得以POA， ，为顶点的三角形与1OO M相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）Q圆心1O的坐标为(2 0)，1Oe半径为 1，(10)A ，(3 0)B，Q二次函数2yxbxc的图象经过点AB，可得方程组10930bcbc 2 分解得：43bc二次函数解析式为243yxx3 分（2）过点M作MFx轴，垂足为F OMQ是1Oe的切线，M为切点，1O MOM（圆的切线垂直于经过切点的半径）在1RtOO M中，1111sin2O MO OMOO1O OMQ为锐角，130O OMo 5 分13cos30232OMOOog，在RtMOF中，33cos30322OFOMog13sin 30322MFOMog点M坐标为3322， 6 分设切线OM的函数解析式为(0)ykx k，由题意可知3322k，33k 7 分切线OM的函数解析式为33yx 8 分（3）存在 9 分过点A作1APx轴，与OM交于点1P可得11RtRtAPOMO O（两角对应相等两三角形相似）113tantan303P AOAAOPog，1313P， 10 分过点A作2APOM，垂足为2P，过2P点作2P HOA，垂足为H图 14 y x O A B M O1 y A H F M O P1P2O1x B 可得21RtRtAP OO MO（两角对应相等两三角开相似）在2RtOP A中，1OAQ，23cos302OPOAog，在2RtOP H中，22333cos224OHOPAOPg，222313sin224P HOPAOPg，23344P，11 分符合条件的P点坐标有313，3344，16、 （08 山东济宁 26 题） （12 分）ABC中，90Co，60Ao，2ACcm长为 1cm 的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以 1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）过MN，分别作AB的垂线交直角边于PQ，两点，线段MN运动的时间为ts（1）若AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以CPQ， ，为顶点的三角形与ABC相似？解： （1）当点P在AC上时，AMtQ，tg 603PMAMtog2133(01)22yttttg 2 分当点P在BC上时，3tan30(4)3PMBMtog21332 3(4)(13)2363ytttttg 4 分（2）2ACQ，4AB413BNABAMMNtt3tan30(3)3QNBNtog 6 分由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PMQN，即33(3)3tt，34t当34ts 时，四边形MNQP为矩形 8 分（3）由（ 2）知，当34ts时，四边形MNQP为矩形，此时PQAB，PQCABC 9 分除此之外，当30CPQBo时，QPCABC，此时3tan303CQCPo1cos602AMAPoQ，22APAMt22CPt 10 分3cos302BNBQoQ，2 3(3)332BNBQt又2 3BCQ，2 32 32 3(3)33tCQt 11分2 333223tt，12t当12ts 或34s 时，以CPQ， ，为顶点的三角形与ABC相似 12 分7、 （08 四川巴中30 题） （12 分） 30已知：如图14，抛物线2334yx与x轴交于点A，点B，与直线34yxb相交于点B，点C，直线34yxb与y轴交于点E（1）写出直线BC的解析式（2）求ABC的面积（3） 若点M段AB上以每秒 1 个单位长度的速度从A向B运动（不与AB，重合） ，同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动设运动时间为t秒，请写出MNB的面积S与t的函数关系式， 并求出点M运动多少时间时，MNB的面积最大，最大面积是多少？解： （1）在2334yx中，令0y23304x12x，22x( 2 0)A，(2 0)B， 1 分x y A B C E M DP N O 又Q点B在34yxb上302b32bBC的解析式为3342yx 2 分（2）由23343342yxyx，得11194xy2220 xy 4分914C，(2 0)B，4AB，94CD。