电路基础（第2版）课件：电路方程的矩阵形式.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,电路方程的矩阵形式,13(,),电 路 基 础,13(,2,),电路方程的矩阵形式,13.1,图的概念,13.2,关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵,13.3,节点电压方程的矩阵形式,13.5,割集电压方程的矩阵形式,13.4,回路电流方程的矩阵形式,13(,3,),(1),对于含元件较少的电路，可以直接利用基尔霍夫定律及前面章节所介绍的支路法、回路法和节点法，直接手工建立所需的解题方程组来解题3),求解矩阵形式表示的电路方程，可以归结为解矩阵相量的问题，可采用矩阵计算工具软件如,Matlab,软件等方便快捷地进行矩阵运算2),解决复杂网络问题可以应用网络图论的方法对电路进行系统化分析，应用矩阵方法系统地分析网络的图和建立电路方程，即建立矩阵形式的节点电压方程、割集电压方程和回路电流方程等13(,4,),13.1,网络图论的基本概念,电路图与拓扑图,实际电路图,对应的线图,(,有向图,),（,1,）图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际电路的结构（支路与节点之间的连接关系）13(,5,),移去图中的支路，与它所联接的节点依然存在，因此允许有孤立节点存在。

如把节点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去2),子图,若图,G,1,中所有支路和节点都是图,G,中的支路和节点，则称,G,1,是,G,的子图13(,6,),从图,G,的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路径3),路径,(4),连通图,图,G,的任意两节点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分13(,7,),(5),回路,是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：,(1),连通，,(2),每个节点关联,2,条支路1,2,3,4,5,6,7,8,2,5,3,1,2,4,5,7,8,不是回路,回路,如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他,节点不出现重复，这条闭合路径就构成图,G的一个回路,13(,8,),(6),树,树,T,所包含的支路称为,树支,；,（,a,图中支路,2,、,4,、,5,）,（,b,图中支路,1,、,4,、,5,）,图,G,中其余的支路称为,连支,；,树支数,=,n,1 (,节点数减,1,）,连支数,=,支路数 树支数,=,b,n,1=,（网孔数）,T,是连通图的一个子图且满足下列条件：,连通,包含所有结点,不含闭合路径,13(,9,),(7),基本回路,(,单连支回路,),1,2,3,4,5,6,5,1,2,3,1,2,3,6,支路数,树支数,连支数,结点数,1,基本回路数,结点、支路和基本回路关系,基本回路具有独占的一条连支,结论,13(,10,),13.1.2,割集,连通图,G,中支路的集合，具有下述性质：,把,Q,中全部支路移去，图分成二个分离部分。

任意放回,Q,中一条支路，仍构成连通图8,7,6,5,4,3,2,1,9,割集,：,(1 9 6)(2 8 9),(3 6 8)(4 6 7)(5 7 8),(3 6 5 8 7),(3 6 2 8),是割集吗？,问题,13(,11,),13.2,关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵,实际电路,结构,可用一个,有向图,来具体描述把有向图各节点和支路编号，然后依次把各支路与相应连接点的连接信息用数字形式记忆下来根据这些信息可完整描述电路的,联接关系,，计算机可根据这些信息自动识别电路关系，并应用,基尔霍夫定律,建立相应的,电路方程,，进行相应的运算反映电路结构中支路与节点连接关系可用一个关联矩阵,A,来描述,.,13.2.1,关联矩阵,13(,12,),a,jk,a,jk,=,1,支路,k,与,节,点,j,关联，电流流出,节,点；,a,jk,=,-1,支路,k,与,节,点,j,关联，电流流入,节,点；,a,jk,=,0,支路,k,与节点,j,无关用矩阵形式描述节点和支路的关联性质n,个节点,b,条支路的图用,n,b,的矩阵描述：,13(,13,),1),每一列中只包含二个非零元素,1,和,1,2),把所有行的元素按列相加，则得到全零的行，因此矩阵的行,不是彼此独立的。

把,A,a,的任一行划去，剩下的矩阵称为,降阶关联矩阵,，记作,A,被划去的行对应的结点可以当作参考节点13(,14,),矩阵形式的基尔霍夫电流定律,设网络各支路电流为,支路电流方向与有向图支路方向一致，,用矩阵形式表示的支路电流列向量为,用关联矩阵,A,左乘支路电流列向量,i,，可得,或,上式为,矩阵形式的基尔霍夫电流定律,13(,15,),A,i,=,13(,16,),节点电压与支路电压之间的关系,网络各,节点电压列向量,为,则有,设支路电压参考方向与支路电流方向一致,令,支路电压列向量,为,13(,17,),u,u,n,13(,18,),13.2.2,回路矩阵,用回路电流法分析电路时，支路与回路之间的关系可以用一个回路矩阵,B,来描述回路矩阵,B,当选择,单连支回路,时,所建立的回路矩阵称为基本回路矩阵,记为 b,jk,=0,，表示第,j,回路与第,k,支路不相关联b,jk,=1,，表示第,j,回路与第,k,支路相关联，且方向相同b,jk,=-1,，表示第,j,回路与第,k,支路相关联，且方向相反13(,19,),设支路,2,，,3,，,6,为树支，回路矩阵,B,为,回 路,设支路,5,，,6,，,7,为树支，基本回路矩阵,B,f,为,树支矩阵,单位矩阵,支 路,13(,20,),矩阵形式的基尔霍夫电压定律,设网络支路电压的参考方向与支路电流方向一致，写成列向量为,用回路矩阵,B,f,左乘支路电压列向量,u,，可得,上式为,矩阵形式的基尔霍夫电压定律,B u,=0,13(,21,),支路电压列向量为,乘积的每一行对应一个回路电压方程,(KVL),.,13(,22,),支路电流与回路电流之间的关系,设,支路电流,列向量为,回路电流,列向量为,有,i,=,B,T,i,l,13(,23,),i,=,B,T,i,l,13(,24,),割集矩阵,Q,基本割集矩阵,(,单树支割集,Q,f,),支路,2,，,3,，,6,为树支,13.2.3,割集矩阵,q,jk,=0,，表示割集,j,与支路,k,不相关联。

q,jk,=1,，表示割集,j,与支路,k,相关联，且方向相同q,jk,=-1,，表示割集,j,与支路,k,相关联，且方向相反支 路,割 集,13(,25,),矩阵形式的基尔霍夫电流定律,用,割集矩阵,Q,f,左乘支路电流列向量,i,，可得,用矩阵形式表示的支路电流列向量为,上式是,广义节点,的基尔霍夫电流定律的矩阵形式13(,26,),支路电流列向量,支路,2,，,3,，,6,为树支,支 路,割 集,13(,27,),割集电压,(,树支电压,),与支路电压之间的关系,单树支割集中，割集电压即为树支电压,支路电压,则有,支路,2,，,3,，,6,为树支,u,=,Q,f,T,u,t,13(,28,),13.3,节点电压方程的矩阵形式,在讨论实际电路问题的时候，首先必须定义一个能,代表一般支路结构,的标准复合,支路,.,1.,支路方程的矩阵形式,不含受控电流源（即,dk,=0,）,电感间无耦合,13(,29,),写为矩阵形式，有,支路电压列向量,支路阻抗矩阵,(,对角阵,),支路电流列向量,支路电流源列向量,支路电压源列向量,13(,30,),支路导纳矩阵,13(,31,),根据,和,得,:,上式即为矩阵形式的节点电压方程,节点导纳矩阵,2.,节点电压方程的矩阵形式,主对角元素为自导纳，非对角元素为互导纳,独立电源引起的注入结点的电流列向量,13(,32,),列写矩阵方程步骤,画有向图，给支路和节点编号,选出参考节点,;,列关联矩阵,A,和,支路导纳矩阵,Y,，,根据,标准复合支路与实际电路比较对照，列写,支路电压源列向量 和支路电流源列向量,;,求节点导纳矩阵,;,写出矩阵形式节点电压方程,【,例,13.3.1】,求图示电路的节点电压方程的矩阵形式,解：（,1,）,把电路抽象为有向图,5V,1,3A,1A,+,-,0.5,5,0.5,2,1,1,2,3,4,5,6,13(,33,),（,2,）形成矩阵,A,1,2,3,A=,1 2 3 4 5 6,1 1 0 0 0 1,0 -1 1 1 0 0,0 0 -1 0 1 -1,形成支路导纳矩阵,Y,1,2,3,4,5,6,13(,34,),形成,U,S,、,I,S,U,S,=-5 0 0 0 0 0,T,I,S,=0 0 0 -1 3 0,T,5V,1,3A,1A,+,-,0.5,5,0.5,2,1,1,2,3,4,5,6,13(,35,),(3),用矩阵乘法求得结点方程,结点导纳阵,Yn,5V,1,3A,1A,+,-,0.5,5,0.5,2,1,13(,36,),13.4,回路电流方程的矩阵形式,标准复合支路,1.,回路电流方程的建立,为回路电流列向量,13(,37,),电路中不含受控源且电感间无耦合,13(,38,),2.,列写矩阵形式回路电流方程的步骤,（,1,）画有向图，给支路编号，选一个树。

2,）写出回路矩阵,B,和支路阻抗矩阵,Z,按标准复合支路的规定，写出支路电压源列向量 和支路电流源列向量,（,3,）用矩阵相乘计算回路阻抗阵,（,4,）写出回路电流方程的矩阵形式,Z,l,为,回路阻抗阵，它的主对角元素为自阻抗，非对角元素为互阻抗为独立电源引起的沿回路方向的电压升列向量,13(,39,),【,例,13.4.1】,电路及有向图如图所示，,取支路,1,、,2,、,3,为树支,，试建立矩阵形式的回路电流方程解,:,选择,单连支回路,作为基本回路，,B,13(,40,),回路阻抗矩阵,13(,41,),矩阵形式的回路方程为,13(,42,),13.5,割集电压方程的矩阵形式,1.,割集电压,方程的建立,标准复合支路,Y,t,称为割集导纳矩阵,，,主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正，其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和，正负由两割集方向确定为独立电源引起的与割集方向相反的电流列向量,割集电压法是结点电压法的推广，或者说结点电压法是割集电压法的一个特例若选择一组独立割集，使每一割集都由汇集在一个结点上的支路构成时，割集电压法便成为结点电压法13(,44,),【,例,13.5.1】,图示电路，试建立运算形式的割集电压方程。

解 作有向图，选支路,1,、,2,、,3,为树,单树支割集矩阵为,由于电路中不包含受控源，因此支路导纳矩阵为一对角阵,Y,(,s,),支路电压源电流源列向量为,:,13(,45,),根据,可写出割集电压的矩阵形式,13(,46,),1(,46,),祝学习愉快！,。