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第三章,线性系统的时域分析法,2,第三章 线性系统的时域分析法 3-1 系统时间响应的性能指标,系统的时间响应由动态过程和稳态过程两部分组成 动态过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程又称过渡过程、瞬态过程 稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式,又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度 性能指标分为动态性能和稳态性能3,上升时间tr:,峰值时间tp:,(1)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间2)对无超调系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间评价系统快速性的性能指标,第三章 线性系统的时域分析法 3-1 系统时间响应的性能指标,4,第三章 线性系统的时域分析法 3-1 系统时间响应的性能指标,动态性能指标:描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间 t 的变化状况的指标，称为动态性能指标5,延迟时间td：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间6,上升时间tr：响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。

上升时间是响应速度的度量7,峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间8,调节时间ts：响应到达并保持在终值 ±5% 内所需时间9,超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)之差的百分比，即,10,上述五项性能指标基本上可以反映系统的动态过程 的特征常用的动态性能指标为：上升时间、调 节时间和超调量常用 tr或 tp评价系统的响应速度； 用 评价系统的阻尼程度；ts则同时反映出系统的阻尼成都和响应速度的综合指标﹪,σ,第三章 线性系统的时域分析法 3-1 系统时间响应的性能指标,11,第三章 线性系统的时域分析法 3-1 系统时间响应的性能指标,稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差 ess12,稳态误差：稳定的系统，当给定参考输入或外来扰动 加入系统后，经过足够长时间，系统稳态响应的实际 值与期望值之差 稳态误差是系统控制精度或抗扰 动能力的一种度量终值定理）,第三章 线性系统的时域分析法 3-1 系统时间响应的性能指标,13,14,3-2 一阶系统的时域分析 1. 一阶系统的数学模型,一般地，把微分方程为 传递函数为 的系统叫做一阶系统。

时间常数T的含义随系统的不同而不同15,3-2 一阶系统的时域分析 2. 一阶系统的单位阶跃响应,设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t) ，可得一阶系统的单位阶跃响应为,,16,3-2 一阶系统的时域分析 2. 一阶系统的单位阶跃响应,17,上升时间tr：响应从终值10%上升到终值90%所需时间,,,这里t1和t2满足,解出,,,,,即：,,,18,,,,延迟时间td：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间延迟时间td满足,解出,调节时间ts：响应到达并保持在终值 ±5% 内所需时间调节时间ts满足,,解出,,19,3-2 一阶系统的时域分析 2. 一阶系统的单位阶跃响应,特点：1）可以用时间常数T去度量系统的输出量的数值；2）初始斜率为1/T，并随时间的推移而下降；,20,根据一阶系统的这两个特性，可以通过实验来测定系统时间常数，或判定系统是否为一阶系统21,3-2 一阶系统的时域分析 2. 一阶系统的单位阶跃响应,动态性能： 稳态性能：延迟时间：td=0.69T 稳态误差为零上升时间：tr=2.20T调节时间：ts=3T (△=0.05) 或 ts=4T (△=0.02)无超调,22,3-2 一阶系统的时域分析 3. 一阶系统的单位脉冲响应,输入 r(t)=(t)，输出,0,特点： 1) 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2) 初始斜率为-1/T2；3) 只有动态过程，没有稳态过程。

23,注意到对于一阶线性系统，输入信号为单位脉冲时,,在零初始条件下，性系统传递函数与脉冲相应函数结构相同因此，可以对系统施加单位脉冲作用，通过测得系统的响应而得到系统的传递函数,这一方法同样适用于高阶线性系统另外，对于一阶系统因为,所以可以由单位脉冲响应的初值来确定系统时间常数,24,3-2 一阶系统的时域分析 4. 一阶系统的单位斜坡响应,输入r(t)=t，输出一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存在跟踪误差，其数值与时间T相等稳态误差ess=T，初始斜率=0，稳态输出斜率=1 25,3-2 一阶系统的时域分析 5. 一阶系统的单位加速度响应,跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至无穷因此一阶系统不能跟踪加速度函数输入：,输出：,,26,对于一阶系统,输入信号微分响应微分 输入信号积分响应积分,线性定常系统的性质,,,27,例： 某一阶系统如图,1、设 Kh=0.1, 求调节时间tsKh,解:,与标准形式对比得：,T=1/10=0.1,于是,ts=3T=0.3s,28,2、若要求ts=0.1s,求反馈系数 Kh .,Kh,解:,要求ts=0.1s，,即,解出,29,例：水银温度计近似可以认为是一阶惯性环节，用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度计指示0度）。

如果给加热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度计的稳态误差是多少？,水银温度计近似可以认为是一阶惯性环节,解：,水银温度计系统是一阶线性系统,,当插入水中一分钟时才指示出该水温的98%的数值,,调节时间为ts=1分钟，误差2%,30,设插入前温度计指示0度,,系统初始值为0, 既满足零初始条件如果给加热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升,,系统输入信号为斜坡信号，r(t)=10t,ts=4T=1分， T=0.25分,,一阶系统对于单位斜坡信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态误差为10T=2.5度31,3-3 二阶系统的时域分析 1. 二阶系统的数学模型,传递函数 :,微分方程 ：,取拉氏变换，有:,标准形式,32,3-3 二阶系统的时域分析 1. 二阶系统的数学模型,标准形式的二阶系统结构图:,其中：ωn—无阻尼自然振荡角频率；ζ—阻尼比,33,3-3 二阶系统的时域分析 2. 二阶系统的单位阶跃响应,其根决定了系统的响应形式:,二阶系统特征方程:,(a) 闭环极点分布,描述如图所示：,34,,系统的特征方程：,闭环极点：,欠阻尼：01无阻尼：=0,3-3 二阶系统的时域分析 2. 二阶系统的单位阶跃响应,35,4、过阻尼：>1,1、欠阻尼：0< <1,2、无阻尼：=0,3、临界阻尼：=1,6、几点结论,5、负阻尼：<0,3-3 二阶系统的时域分析 2. 二阶系统的单位阶跃响应,36,6、几点结论：,1）二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：, < 0 时，响应发散，系统不稳定；  = 0 时，等幅振荡；0< <1 时，有振荡，愈小，振荡愈严重；  ≥ 1 时，无振荡，无超调，过渡过程时间长。

37,2） 一定时，ωn越大，暂态响应分量衰减越快系统更快达到稳态值，快速性越好6、几点结论：,38,3）阻尼比的选择,工程中通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通 常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性， 同时又不至于产生过大的振荡6、几点结论：,39,3-3 二阶系统的时域分析 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析,=cos,,0,s1,ωn,-n,,,,,,,,,s2,j,jd,,40,上升时间,峰值时间,调节时间,超调量,3-3 二阶系统的时域分析 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析,动态性能指标,41,上升时间tr, 一定时，ωn越大，tr 越小； ωn一定时， 越大，tr 越大t0),42,峰值时间tp,(t0),注意到,得到,43,即, 一定时，ωn 越大，tp 越小； ωn一定时， 越大，tp 越大等价于,选取,44,超调量σ％,仅与阻尼比有关 越大，σ％ 越小，系统的平稳性越好 = 0.4~0.8 σ％= 25.4%~1.5%,45,调节时间ts,包络线,46,当0<  ≤0.8时,当一定时，ωn越大，ts 越小，系统响应越快。

调节时间ts,47,延迟时间td, 一定时，ωn越大，td 越小； ωn一定时， 越大，td 越大t0),48,1、二阶欠阻尼系统的动态性能由ωn和 决定2、增加 降低振荡，减小超调量σ％ ，系统快速性降低，tr ,tp 增加；,3、  一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr , tp , ts越小；,4、σ％ 与 有关，而tr , tp , ts与 ,ωn有关，通常根据允许的最大超调量来确定 一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的动态响应时间小结:,49,化为标准形式,即有 2n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25,解： 系统闭环传递函数为,解得 n=5, ζ=0.5,例: 已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标50,例：设单位负反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数※ 由图知所求系统为一欠阻尼系统,※,,※,,解：,51,于是闭环传递函数,于是开环传递函数,52,例：分析由两个惯性环节构成的二阶系统中K的作用,调节K 可以改变阻尼比，K 越大，阻尼比越小。

53,由于过阻尼系统响应缓慢，故通常不希望采用但不排除在某些情况下采用过阻尼系统，如低增益、大惯性的温度控制系统中此外，在有些不允许时间响应出现超调，而又希望响应速度较快的情况下，需要采用临界阻尼系统特别是，有些高阶系统的时间响应往往可以用过阻尼二阶系统的时间响应来近似，因此研究过阻尼二阶系统的动态过程分析，有较大的工程意义3-3二阶系统的时域分析 4、过阻尼二阶系统的动态性能分析,54,3-3二阶系统的时域分析 4、过阻尼二阶系统的动态性能分析,延迟时间上升时间调节时间 和T1,T2有关，查图求得T1=T2时，ts=4.75T1,,55,化为标准形式,则有 T1=T2=0.2s，此时,解： 闭环传递函数为,令ζ=1，则有 2n=1/Tm=10, n=5rad/s， n2=K/Tm=25，K=2.5(rad/s)2,例: 设角度随动系统如图所示，其中K为开环增益，Tm=0.1s为伺 服电动机时间常数若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间不超过1s，问K取多大？此时系统的延迟时间 和上升时间为多少？,56,二阶系统的单位斜坡响应,,而,将其带入上式得到,57,二阶系统的单位斜坡响应,,1、欠阻尼单位斜坡响应,,稳态分量和瞬态分量分别为,,稳态分量,瞬态分量,58,,稳态误差,误差响应,误差峰值时间,误差峰值,用D表示误差响应对于其稳态值的偏差，则有,59,二阶系统的单位斜坡响应,2、临界阻尼单位斜坡响应,,稳态误差,,误差响应,60,二阶系统的单位斜坡响应,3、过阻尼单位斜坡响应,稳态误差,误差响应,,61,例 设控制系统如图所示。

图中，输入信号θi(t)=t ，放大器增益KA分别取为13.5，200和1500(rad/s)2试分别写出系统的误差响应表达式，并估算其性能指标。