[初三数学]四点共圆.doc

四点共圆1、已知△ABC中，∠ACB=90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，求证：EF∥AB．考点：四点共圆；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：连接CF、FH，因为BN平分∠ABC，利用互余关系、对顶角相等可证∠CNB=∠BQH=∠CQN，根据CF为△CQN的底边上中线，可证CF⊥BN，可知∠CFB=90°=∠CHB，由此可证C、F、H、B四点共圆，根据BN平分∠ABC，可证FC=FH，即点F在CH的中垂线上，同理可证，点E在CH的中垂线上，故EF⊥CH，而AB⊥CH，可证EF∥AB．解答：证明：连接CF、FH，∵BN是∠ABC的平分线，∴∠ABN=∠CBN，又∵CH⊥AB，∴∠CQN=∠BQH=90°-∠ABN=90°-∠CBN=∠CNB，∴CQ=NC．又F是QN的中点，∴CF⊥QN，∴∠CFB=90°=∠CHB，∴C、F、H、B四点共圆．又∠FBH=∠FBC，∴FC=FH，∴点F在CH的中垂线上，同理可证，点E在CH的中垂线上，∴EF⊥CH，又AB⊥CH，∴EF∥AB．点评：本题考查了线段垂直平分线的判断，四点共圆的判断与运用．关键是根据题意构造四点共圆的条件．本题具有一定的综合性．2、如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3=90°．考点：四点共圆；三角形内角和定理；圆内接四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）连接I1A1，I1A2，I1A3，I2A2和I2A3，延长A1I1交四边形A1A2A3A4外接圆于P，根据内心的性质证明∠A2I1A3=90°+1/2∠A2A1A3，∠A2I2A3=90°+1/2∠A2A4A3，及四边形A1A2A3A4内接于一圆，可证∠A2A1A3=∠A2A4A3，故∠A2I1A3=∠A2I2A3，得出结论；（2）连接I3A4，仿照（1）的结论证明∴∠I1I2A3=180°-∠I1A2A3=180°-1/2∠A1A2A3，以及∠I3I2A3=180°-∠I3A4A3=180°-1/2∠A1A4A3，由∠I1I2I3=360°-（∠I1I2A3+∠I3I2A3）证明结论．解答：证明：（1）如图，连接I1A1，I1A2，I1A3，I2A2和I2A3，∵I1是△A1A2A3的内心，∴∠I1A1A2=∠I1A1A3=1/2∠A2A1A3，∠I1A2A1=∠I1A2A3=1/2∠A1A2A3，∠I1A3A1=∠I1A3A2=1/2∠A1A3A2，延长A1I1交四边形A1A2A3A4外接圆于P，则∠A2I1A3=∠A2I1P+∠PI1A3=∠I1A1A2+∠I1A2A1+∠I1A1A3+∠I1A3A1=1/2（∠A2A1A3+∠A1A2A3+∠A2A3A1）+1/2∠A2A1A3=90°+1/2∠A2A1A3，同理∠A2I2A3=90°+1/2∠A2A4A3，又∵四边形A1A2A3A4内接于一圆，∴∠A2A1A3=∠A2A4A3，∴∠A2I1A3=∠A2I2A3，∴A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）又连接I3A4，则由（1）知A3、I2、I3、A4四点共圆，∴∠I1I2A3=180°-∠I1A2A3=180°-1/2∠A1A2A3同理∠I3I2A3=180°-∠I3A4A3=180°-1/2∠A1A4A3，∴∠I1I2I3=360°-（∠I1I2A3+∠I3I2A3）=1/2（∠A1A2A3+∠A1A4A3）=90°．点评：本题考查了四点共圆的判定与性质．只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的．3、如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12，0），B（0，9），C（3，0），D（0，4），Q为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P．问OP•OQ的值是否变化？证明你的结论．考点：四点共圆；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接DC、PC，由已知得OA=12，OB=9，OC=3，OD=4，以及∠COD=∠BOA=90°，可证△COD∽△BOA，得∠1=∠A，又O、C、P、D四点共圆，故∠1=∠2，即∠2=∠A，再证△POC∽△AOQ，利用相似比求解．解答：解：点Q段AB上运动的过程中，OP•OQ的值是不变的．证明：连接DC、PC∵OC/OB=OD/OA=1/3，∠COD=∠BOA=90°，∴△COD∽△BOA， ∴∠1=∠A，∵O、C、P、D四点共圆，∴∠1=∠2，∴∠2=∠A，∵∠POC=∠AOQ，∴△POC∽△AOQ，∵ OC/OQ=OP/OA，∴OP•OQ=OC•OA=36．点评：本题考查了四点共圆的判断，相似三角形的判定与性质．关键是根据已知条件证明三角形相似，由相似比得两线段的积为常数．4、如图所示，I为△ABC的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．考点：四点共圆；三角形的五心．专题：证明题．分析：如图，连接OB、BI、OC，由O是外心知∠IOC=2∠IBC，由I是内心知∠ABC=2∠IBC，然后利用三角形的内角和定理即可证明∠BOC+∠A=180°，接着即可证明△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．解答：证明：连接OB、BI、OC，由O是外心知∠IOC=2∠IBC．由I是内心知∠ABC=2∠IBC．从而∠IOC=∠ABC．同理∠IOB=∠ACB．而∠A+∠ABC+∠ACB=180°，故∠BOC+∠A=180°，于是O、B、A、C 四点共圆．点评：此题主要考查了四点共圆的问题，解题的关键是利用三角形的外心和内心得到角的关系，然后利用三角形的内角和解决问题．5、如图所示，已知O为正三角形ABC的高AD、BE、CF的交点，P是△ABC所在平面上的任一点，作PL⊥AD于L，PM⊥BE于M，PN⊥CF于N．试证：PL、PM、PN中较大的一条线段等于其它两条线段的和．考点：四点共圆；等边三角形的性质．专题：证明题．分析：因为题设中有正三角形和垂直的条件，由PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四点共圆，同理P、L、N、M四点共圆，因此P、L、O、N、M五点共圆，再求出△LMN为正三角形即可得出结论．解答：解：∵PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四点共圆．同理P、L、N、M四点共圆，∴P、L、O、N、M五点共圆．∵O既是正△ABC的垂心，又是△ABC的内心，∴∠AOE=∠COE=60°，再由共圆的条件得到∠MNL=∠LOM=60°，∠MLN=∠MON=60°．∴∠MNL=∠MLN=60°，∴△LNM是等边三角形，∵点P是劣弧LM上一点，∴PN=PL+PM．点评：本题考查的是四点共圆的条件及等边三角形的性质，此题综合性较强，难度较大．6、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．考点：四点共圆；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）在△FDC中，由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+∠FAE=180°，而FX、EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．解答：证明：（1）连接AX；由图知：∠FDC是△ACD的一个外角，则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①同理，得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠FDC=∠ABC；又∵∠ABC+∠EBC=180°，即：∠FDC+∠EBC=180°；③①+②，得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB），由③，得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；∵FX、EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线，∴∠AFB=2∠AFX，∠AED=2∠AEX，代入上式得：2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX，故FXE=90°，即FX⊥EX．（2）连接MF、FN，ME、NE；∵∠FAC=∠FBD，∠DFB=∠CFA，∴△FCA∽△FDB，∴FA/FB=AC/BD；∵AC=2AM，BD=2BN，∴ FA/FB=2AM/2BN=AM/BN；又∵∠FAM=∠FBN，∴△FAM∽△FBNA，得∠AFM=∠BFN；又∵∠AFX=∠BFX，∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN，即∠MFX=∠NFX；同理可证得∠NEX=∠MEX，故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．点评：此题涉及的知识点较多，有：圆内接四边形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义以及相似三角形的判定和性质等；难点在于第（2）问，能够通过两步相似来得到与所求相关的等角，是解答此题的关键．7、如图，ABCD为圆内接四边形，过AB上一点M，引MP，MQ，MR分别垂直于BC，CD，AD，连接PR，MQ相交于N，求证：PN/NR=BM/MA考点：四点共圆；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：先根据A、B、C、D四点共圆，可得出M、R、D、Q四点共圆，M、P、C、Q四点共圆，再在△RMN及△PMN中利用余弦定理即可得出PN、NR、BM、MA的关系式，进而可得出结论．解答：证明：∵A、B、C、D四点共圆，∴∠RAM=180°-∠C，∠PBM=180°-∠D（圆内接四边形的对角互补）∵MR⊥AD、MQ⊥CD，∴M、R、D、Q四点共圆，∴∠RMN=180°-∠D；∵MP⊥BC、MQ⊥CD，∴M、P、C、Q四点共圆，∴∠PMN=180°-∠C，△RMN中使用正弦定理：RN/ sin∠RMN=RM/ sin∠RNM△PMN中使用正弦定理：PN/ sin∠PMN=PM/ sin∠PNM∵sin∠RNM=sin∠PNM，∴ PN/RN= PM×sin∠PMN/ RM×sin∠RMN= PM×sin∠C/ RM×sin∠D∴PM=MB×sin∠PBM=MB×sin∠D，RM=MA×sin∠RAM=MA×sin∠C，∴PN/RN= PMsin∠C/ RM×sin∠D= MB×sin∠D×sin∠C/ MA×sin∠C×sin∠D=MB/MA，∴PN/NR=BM/MA点评：本题考。