南大复变函数与积分变换教学课件(版)51孤立奇点.ppt

1第五章 留数及其应用 第五章第五章 留数及其应用留数及其应用5.2 留数留数5.1 孤立奇点孤立奇点5.3 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用 第1页，共34页25.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 5.1 孤立奇点孤立奇点一、一、引言引言 二、二、零点零点 三三、孤立奇点孤立奇点 四四、孤立奇点的分类孤立奇点的分类 五五、如何进行孤立奇点的分类如何进行孤立奇点的分类 六六、如何判断极点的阶数如何判断极点的阶数 第2页，共34页35.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 一一、引言引言 本章重点解决闭路积分问题本章重点解决闭路积分问题D r C 如图，考虑积分如图，考虑积分 (1)若若 在在 G G 上连续，在上连续，在 D 上解析，上解析，则则 (2)若若 在在 D 上有唯一的奇点上有唯一的奇点 则则 此时，将函数此时，将函数 在在 点的邻域内进行洛朗展开，点的邻域内进行洛朗展开，由由 则积分则积分 “不难不难?”得到G G 第3页，共34页45.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 则称则称 为为 的的零点零点；(1)若若 所谓函数所谓函数 的的零点零点就是方程就是方程 的的根根。

定义定义 设函数设函数 在在 处解析，处解析，(2)若若 在在 处解析且处解析且 则称则称 为为 的的 m 阶零点阶零点对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的结论结论 即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点二二、零点零点 P106定义定义 5.2 P107 (进入证明进入证明?)?)第4页，共34页55.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 二二、零点零点 定理定理 设函数设函数 在在 处解析，则下列条件是等价的：处解析，则下列条件是等价的：(1)为为 的的 m 阶零点2)其中，其中，(3)在在 内的泰勒展开式为内的泰勒展开式为 充要条件充要条件 (如何判断零点的阶数如何判断零点的阶数?)P107定理定理 5.4 (进入证明进入证明?)?)第5页，共34页65.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 其中，其中，二二、零点零点 充要条件充要条件(如何判断零点的阶数如何判断零点的阶数?)定理定理 设函数设函数 在在 处解析，则下列条件是等价的：处解析，则下列条件是等价的：(1)为为 的的 m 阶零点2)(3)在在 内的泰勒展开式为内的泰勒展开式为 收敛且解析收敛且解析 第6页，共34页。

75.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 例例 故故 为为 的一阶零点的一阶零点例例 故故 为为 的三阶零点的三阶零点第7页，共34页85.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是是 的三阶零点的三阶零点是是 的三阶零点的三阶零点方法一方法一 方法二方法二 第8页，共34页95.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是是 的二阶零点的二阶零点是是 的二阶零点的二阶零点第9页，共34页105.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 三三、孤立奇点孤立奇点 邻域邻域 内解析，内解析，则称则称 为为 孤立奇点孤立奇点使得使得 在去心在去心 且存在且存在 定义定义 设设 为为 的奇点，的奇点，例例 为孤立奇点为孤立奇点例例 原点及负实轴上的点均为奇点，原点及负实轴上的点均为奇点，但不是孤立奇点但不是孤立奇点P102定义定义 5.1 第10页，共34页115.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 例例 (1)令令 为孤立奇点；为孤立奇点；(2)也是奇点，也是奇点，但不是孤立奇点但不是孤立奇点邻域邻域 内解析，内解析，则称则称 为为 孤立奇点孤立奇点使得使得 在去心在去心 定义定义 设设 为为 的奇点，的奇点，且存在且存在 三三、孤立奇点孤立奇点 P102 例例5.3 第11页，共34页。

125.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四四、孤立奇点的分类孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 将将 在在 内内 定义定义 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：(1)若若 有有 则称则称 为为 的的可去奇点可去奇点即不含负幂次项即不含负幂次项 )P103 第12页，共34页135.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四四、孤立奇点的分类孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：则称则称 为为 的的 N 阶极点阶极点；(即含有限个负幂次项即含有限个负幂次项 )(2)若若 有有且且 有有 特别地，当特别地，当 时，称时，称 为为 的的简单极点简单极点第13页，共34页145.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四四、孤立奇点的分类孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：(即含无限个负幂次项即含无限个负幂次项 )(3)若若 有有 则称则称 为为 的的本性奇点本性奇点。

第14页，共34页155.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四四、孤立奇点的分类孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：小结小结 (1)可去奇点可去奇点 不含负幂次项；不含负幂次项；(2)N 阶极点阶极点 含有限多的负幂次项含有限多的负幂次项,且最高负幂次为且最高负幂次为 N；(3)本性奇点本性奇点 含有无穷多的负幂次项含有无穷多的负幂次项可去奇点可去奇点 本性奇点本性奇点 N 阶极点阶极点 第15页，共34页165.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 可去奇点可去奇点 本性奇点本性奇点 N 阶极点阶极点 (2)N 阶阶极点极点 (3)本性奇点本性奇点 不存在且不为不存在且不为 (常数常数)；(1)可去奇点可去奇点 方法方法 注注 在求在求 时，可使用时，可使用罗比达法则罗比达法则该条件只能判断是极点该条件只能判断是极点)N 阶极点阶极点 五五、如何进行孤立奇点的分类如何进行孤立奇点的分类 P103105定理定理5.15.3 第16页，共34页。

175.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (不含负幂次项不含负幂次项)解解 是是 的奇点，的奇点，由由 是是 的可去奇点的可去奇点可知，可知，将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 如果约定如果约定 在在 点的值为点的值为 1，则则 在在 点点 就解析了，就解析了，因此称因此称 为为 的可去奇点的可去奇点P105 例例5.4 第17页，共34页185.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 是是 的奇点，的奇点，考察极限考察极限 是是 的本性奇点的本性奇点因此，因此，将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 (含无穷多个负幂次项含无穷多个负幂次项)由由 不存在且不为不存在且不为 可知，可知，第18页，共34页195.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (含有限个负幂次项，且最高负幂次为含有限个负幂次项，且最高负幂次为 2)解解 是是 的奇点，的奇点，由由 是是 的极点可知，可知，将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 可见，可见，为为 的二阶极点的二阶极点第19页，共34页205.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 是是 的奇点，的奇点，由由 是是 的极点。

的极点可知，可知，将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 可见，可见，为为 的三阶极点的三阶极点含有限个负幂次项含有限个负幂次项 且最高负幂次为且最高负幂次为 3 是否还有其它办法来判断极点的阶数呢？是否还有其它办法来判断极点的阶数呢？问题问题 第20页，共34页215.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 六六、如何判断极点的阶数如何判断极点的阶数 则则 为为 的的 N 阶极点1.若若 其中其中 在在 点的邻域内解析，点的邻域内解析，且且 为为 的的 N 阶极点的充要条件阶极点的充要条件(即定义即定义)为：为：事实上，事实上，其中，其中，在在 点的邻域内解析，点的邻域内解析，且且 P105 式式(5.1)第21页，共34页225.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 六六、如何判断极点的阶数如何判断极点的阶数 2.若若 零点，零点，且且 为为 的的 n 阶零点，为阶零点，为 的的 m 阶阶 则则 (1)当当 时，时，(2)当当 时，时，即即 为为 的可去奇点的可去奇点为为 的的(n-m)阶极点P107定理定理 5.5 第22页，共34页235.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是是 的一阶极点。

的一阶极点判断函数判断函数 的奇点的类型的奇点的类型例例 是是 的二阶极点的二阶极点解解 由于由于 是是 的可去奇点，的可去奇点，故故 解解 由于由于 是是 的一阶极点，的一阶极点，故故 第23页，共34页245.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 令令 故故 是是 的一阶极点的一阶极点由于由于 是是 的一阶零点，的一阶零点，判断函数判断函数 的奇点的类型的奇点的类型例例 但不是但不是 的零点，的零点，解解 令令 由于由于 是是 的二阶零点，的二阶零点，故故 是是 的二阶极点的二阶极点第24页，共34页255.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 由于由于 是是 的四阶零点，的四阶零点，解解 故故 是是 的二阶极点的二阶极点将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 因此，因此，为为 的二阶极点的二阶极点注注 直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握 且是且是 的二阶零点，的二阶零点，第25页，共34页265.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 由于由于 是是 的三阶零点，的三阶零点，解解 故故 是是 的二阶极点。

的二阶极点判断函数判断函数 的奇点的类型的奇点的类型例例 由于由于 是是 的三阶零点，的三阶零点，解解 故故 是是 的二阶极点的二阶极点什么情况下会出现本性奇点呢什么情况下会出现本性奇点呢?且是且是 的一阶零点，的一阶零点，且是且是 的一阶零点，的一阶零点，第26页，共34页275.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 为可去奇点为可去奇点为可去奇点为可去奇点判断下列函数的奇点的类型判断下列函数的奇点的类型例例 上述函数都有一个共同点：上述函数都有一个共同点：为本性奇点为本性奇点为本性奇点为本性奇点为本性奇点为本性奇点第27页，共34页285.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 考虑下面两类函数考虑下面两类函数：小结小结 (2)(1)比较分子分母比较分子分母 的零点的阶数的零点的阶数 可去奇点可去奇点,N 阶阶极点极点函数函数 连续连续 可去奇点可去奇点,本性奇点本性奇点?第28页，共34页295.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 休息一下第29页，共34页305.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 附：附：不恒为零的解析函数的零点是孤立的不恒为零的解析函数的零点是孤立的 即得不恒为零的解析函数的零点是孤立的。

即得不恒为零的解析函数的零点是孤立的设设 在在 处解析且处解析且 由由 在在 处解析，有处解析，有 在在 处连续，处连续，令令 。