第四一元函数积分学.ppt

第四章第四章 一元函数积分学一元函数积分学一、原函数概念一、原函数概念定义一：设定义一：设 f(x)是定义在区间是定义在区间D上的函数，若存在函数上的函数，若存在函数F(x)对任何对任何x∈∈D,都有都有F(x)’=f(x)(或或df(x)=f(x)dx)则称则称F(x)为为f(x)在区间在区间D上的原函数上的原函数(简称为简称为f(x)的原函的原函数数)如如:已知函数已知函数f(x)=sinx函数函数F1(x)=-cosx和和F2(x)=-cosx+2都是都是f(x)=sinx的原的原函数∵∵(C’)=0, ∴∴F(x)=-cosx+C都是都是f(x)=sinx的原函数的原函数注：注：一个函数的原函数若存在，则有无数个一个函数的原函数若存在，则有无数个定理定理1，，若若F(x)是是f(x)在某区间上的原函数，则在某区间上的原函数，则F(x)+C(C为任意常数为任意常数)包含了包含了f(x)的全体原函数的全体原函数如：在任一点如：在任一点x处切线斜率为处切线斜率为2x的曲线方程是的曲线方程是y=x2+c2、、不定积分的定义不定积分的定义定义定义2，对于某区间，对于某区间D上的函数上的函数f(x)，，若存在原函数，则若存在原函数，则称称f(x)为可积函数，并将为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为的全体原函数记为∫f(x)dx称它是函数称它是函数f(x)的不定积分的不定积分,其中其中f(x)是被积函数是被积函数,x是积是积分变量分变量,∫是积分符号。

是积分符号若若F(x)是是f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)的不定积分为的不定积分为 ∫f(x)dx=F(x)+C(C称为积分常数称为积分常数)注注:(1)积分号积分号∫表示对函数表示对函数f(x)实行求原函数的运实行求原函数的运算算,即要找出导函数等于已知函数即要找出导函数等于已知函数f(x)的的(原原)函函数数F(x)+C(2)x是积分变量是积分变量,它与用什么字母表示无关它与用什么字母表示无关,所以所以 式中将式中将x换成换成u仍成立仍成立,即即∫f(u)du=F(u)+C (C为积分常数为积分常数)(3)“求一个已知函数求一个已知函数f(x)的全体原函数的全体原函数”可表示可表示为为:(4)求一个已知函数求一个已知函数f(x)的全体原函数的方法为的全体原函数的方法为:①①先求一个原函数先求一个原函数F(x)即即F’(x)=f(x)②②再再由由 式即可求出全体原函数式即可求出全体原函数.∫f(x)dx=F(x)+C 例例1、已知曲线、已知曲线y=F(x)在任一点在任一点x处的切线斜率处的切线斜率为为2x，，且曲线过且曲线过(1,2)点，求此曲线方程：点，求此曲线方程：解：由导数的几何意义知：解：由导数的几何意义知：k=F’(x)=2x∵∵(x2)’=2x ∴∴F(x)=x2是是2x的一个原函数。

的一个原函数∴∴y=∫2xdx=x2+c又曲线过又曲线过 (1,2)点点,把把x=1,x=2代入上式得代入上式得2=12+C即即C=1所以所以,所求曲线方程为所求曲线方程为:y=x2+1例例2 经过调查发现经过调查发现,某产品的边际成本可由下列函数给出某产品的边际成本可由下列函数给出2q+3某中某中,q是产量数是产量数,已知生产的固定成本为已知生产的固定成本为2,求生求生产成本函数产成本函数解：设所求生产成本函数为解：设所求生产成本函数为C(q)，，由题知：由题知：C’(q)=2q+3∵∵(q2+3q)’=2q+3∴∴F(q)=q2+3q是是2q+3的一个原函数的一个原函数∴∴C(q)=∫(2q+3)dq=q2+3q+c0(c0是积分常数是积分常数)由已知生产的固定成本为由已知生产的固定成本为2,即生产是即生产是q=0时时,成本是成本是2,代代入上式入上式,得得C(0)=02+3·0+C0=3 得得C0=2所以所以,生产成本函数为生产成本函数为:C(q)=q2+3q+2二、积分基本公式二、积分基本公式1、不定积分与导数、不定积分与导数(微分微分)之间的关系：之间的关系：上式表明，求不定积分与求导上式表明，求不定积分与求导(微分微分)是互是互逆的运算。

逆的运算2、导数基本公式、导数基本公式 积分基本公式积分基本公式注：上述积分公式中注：上述积分公式中x可以换成可以换成u举例：举例：三、基本积分法三、基本积分法1、不定积分的性质、不定积分的性质性质性质1：：两个函数之和两个函数之和(差差)的不定积分，等于它的不定积分，等于它们的不定积分之和们的不定积分之和(差差)即即性质性质2：：在求不定积分时，非在求不定积分时，非0常数因子可以提到常数因子可以提到积分号外面积分号外面即即2、直接积分法：得用不定积分的运算性质和积、直接积分法：得用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法分基本公式，直接求出不定积分的方法举例：书举例：书P155～～157例例1：求下列不定积分求下列不定积分例例2、某商场销售商品的边际收入是、某商场销售商品的边际收入是64q-q2(万元万元/千千件件)某中某中q是销领带量是销领带量(千件千件)，求收入函数及收入最，求收入函数及收入最大时的销售量大时的销售量解：设收入函数为解：设收入函数为R(q)，，由题知由题知R’(q)=64q-q2得得由由q=0,R(q)=0,知，知，C=0因此，所求收入函数为因此，所求收入函数为收入最大时的销售量是使收入最大时的销售量是使的的q值，得值，得q=64(q=0舍去舍去)所以获得最大收入所以获得最大收入时的销售量为时的销售量为64(千件千件)3、凑微分法、凑微分法(第一换元法第一换元法)由由 应将微分应将微分dx凑成凑成使变量使变量-改为改为3x，，即即由由应将微分应将微分dx凑成凑成 ，使变量一致变，使变量一致变3x-1，，即即一般地一般地，凑微分法是先将，凑微分法是先将∫f(x)dx中的中的f(x)dx凑凑成微分形式成微分形式(可统一变量的微分形式可统一变量的微分形式)亦即第一换元法。

亦即第一换元法注：关键是将注：关键是将f(x)凑成凑成f1(u(x)) ·u’(x)且且∫f1(u(x))u’(x)dx可利用积分基本公式积出可利用积分基本公式积出书书P158～～159注：关键是将注：关键是将f(x)凑成凑成f1(u(x)) ·u’(x)且且∫f1(u(x)u’(x)dx)可利用积分基本公式积出可利用积分基本公式积出.书书P158～～159例例3:求下列不定积分求下列不定积分:解解:(1)用凑微分法及积分基本公式用凑微分法及积分基本公式(2)用凑微分法及积分基本公式用凑微分法及积分基本公式(3)用凑微分法及积分基本公式用凑微分法及积分基本公式(4)凑微分法及积分基本公式凑微分法及积分基本公式4、分部积分法、分部积分法(1)分部积分公式分部积分公式定理定理4.2设设u(x)，，v(x)是可微函数，则有是可微函数，则有∫u(x) ·v’(x)dx=u(x)v(x)-∫u’(x) ·v(x)dx注注:①①分部积分公式简写为分部积分公式简写为∫udv=uv-∫vdu ②②分部积分关键是分部积分关键是:a:被积函数被积函数f(x)可以写成可以写成u(x)v’(x)的特殊乘积的特殊乘积形式形式;b:等式右边的积分等式右边的积分∫u’(x)v(x)dx容易计算出结容易计算出结果。

果 ③③1)若若f(x)是幂函数乘以是幂函数乘以ex或或sinx、、cosx常常选择幂函数为选择幂函数为u(x)，，把把ex、、sinx、、cosx写成写成v’(x)形式2)若若f(x) 是幂函数乘以是幂函数乘以lnx,常选择常选择lnx为为u(x)，，把幂函数写成把幂函数写成v’(x)形式3)若若f(x)是是ex乘以乘以sinx、、cosx、、u(x)、、v’(x)可可以任意选取以任意选取如：求下列不定积分：如：求下列不定积分：解：解：移项得：(2)分部积分的列表法：分部积分的列表法：列表为列表为:(+)u→g求导求导 (-)u’ →v(=∫gdx)此表的具体运算方法如下此表的具体运算方法如下:①①横向函数相乘再积分横向函数相乘再积分;②②左列函数依次求导数左列函数依次求导数,右列函数依次求积分右列函数依次求积分;③③斜向函数相乘不积分斜向函数相乘不积分,符号选择依次取正负符号选择依次取正负.∫ugdx=uv- ∫u’vdx 横向横向 斜向斜向 横向横向注注:由分部积分列表法的图表结构可知由分部积分列表法的图表结构可知:①①右列的函数应是容易积分的右列的函数应是容易积分的(即原函数易求即原函数易求);②②左列的函数一般应是求导后逐渐简单的左列的函数一般应是求导后逐渐简单的;③③左导右积的结果相乘左导右积的结果相乘,其积分应是逐步简化其积分应是逐步简化,并并最终方便求出结果的。

最终方便求出结果的如：求下列不定积分：如：求下列不定积分：解解:(1) (+)x→ e-x (-)1 -e-x (+)0 e-x(2)(+)lnx (-) (3) (+)x2 cosx (-)2x sinx (+)2 -cosx (-)0 -sinx (4)(+)e-x cosx (-)-e-x sinx (+)e-x -cosx 移项得：四、定积分四、定积分1、定义、定义设设f(x)在区间在区间[a,b]上连续，上连续，F(x)是是f(x)的一个的一个原函数，数值原函数，数值F(b)-F(a)称为称为f(x)在在[a,b]上的定积分上的定积分(或称为或称为f(x)从从a到到b的定积分的定积分)记为：记为： 即即N-L公式公式其中其中f(x)称为被积函数，称为被积函数，x称为积分变量，数称为积分变量，数a和和b分别称为积分的下限和上限，分别称为积分的下限和上限，[a,b]称为积分称为积分区间。

区间注：注：①①在计算在计算 时，选取哪一个原函数是时，选取哪一个原函数是无关紧要的；无关紧要的； ②②变上限定积分，变上限定积分，x∈∈[a,b]是是x的函数的函数,还是还是f(x)的一个原函数的一个原函数 ③③定积分定积分 与积分变量所选取的字母与积分变量所选取的字母无关无关,即即④④规定规定:⑤⑤定积分的计算定积分的计算:先由不定积分法找一个原先由不定积分法找一个原函数函数,再由再由N-L公式求出其函数值公式求出其函数值;⑥⑥不定积分与定积分的区别不定积分与定积分的区别:不定积分的结不定积分的结果是函数果是函数,而定积分的结果是一个函数值而定积分的结果是一个函数值.2、定积分的性质：、定积分的性质：设设f(x)、、g(x)在在[a,b]上连续，则有上连续，则有性质性质1：：性质性质2：：性质性质3：：例例4：计算下列定积分：：计算下列定积分：(1) (2)解解:(1)(2) ∵ ∴3、定积分的换之积分法和分部积分法、定积分的换之积分法和分部积分法(1)换元积分法：换元积分法：或或定理定理3 设设f(x)在在[a,b]上连续，若上连续，若其中其中f(x)在在[a,b]连续，连续，u(x)在在[α、、β]上单调有上单调有连续导数连续导数u’(x)且当且当x=a时，时，u=α,x=b时时,u=β,则作变量替换则作变量替换u(x)=u可得可得该式称为定积分的换元公式。

该式称为定积分的换元公式(2)分部积分法：分部积分法：定理定理4：：设函数设函数u’(x)和和v(x)在在[a,b]上连续，则上连续，则该公式称为定积分的分部积分公式该公式称为定积分的分部积分公式举例：举例：计算定积分：计算定积分：解解:(1) ∵∵(+)lnx x2 (-)∴∴(2)∵∵ (+)lnx 1 (-) x 注：注：不定积分与定积分的关系：不定积分与定积分的关系：①①不定积分的结果是全体原函数，而定积分的结不定积分的结果是全体原函数，而定积分的结果是一个函数值；果是一个函数值；②②在计算定积分时，可以先得用不定积分的方法在计算定积分时，可以先得用不定积分的方法求出一个原函数，再由求出一个原函数，再由N-L公式求出定积分的公式求出定积分的值③③不定积分的换元积分法，换元后必须还原；而不定积分的换元积分法，换元后必须还原；而定积分的换元积分法，换元必须换限在运算定积分的换元积分法，换元必须换限在运算熟练后，也可略去换元过程，此时定积分上下熟练后，也可略去换元过程，此时定积分上下限也就不必改变。

限也就不必改变如：计算定积分如：计算定积分解：解：(方法一方法一)(方法二方法二)：：五、广义积分五、广义积分定义定义4 设函数设函数f(x)在无限区间在无限区间[a,+∞]上连续上连续,若若极限极限 存在存在,则称则称f(x)在在[a,+∞]上的无穷上的无穷限广义积分限广义积分(简称广义积分简称广义积分)收敛或存在收敛或存在,记作记作:并称这个极限值为广义积分的值并称这个极限值为广义积分的值若若极限极限 不存在，则称广义积分不存在，则称广义积分发散或不存在发散或不存在类似地，类似地，其中其中C是是(a,b)内的任意实数内的任意实数注：注：无穷积分的求法：无穷积分的求法：先把它看作普通意义下的积分，利用有限区间上先把它看作普通意义下的积分，利用有限区间上的定积分的计算方法计算，再求其极限求出相的定积分的计算方法计算，再求其极限求出相应的广义积分应的广义积分举例：计算下列广义积分：举例：计算下列广义积分：书书P177练习练习或简写为：或简写为：作业：作业：习题习题4打打※※题及书题及书P183.7.9。