2022版高考数学一轮复习第2章第2讲基本不等式及其应用训练含解析.doc

第二章　第2讲[A级　基础达标]1．设a，b为正数，且a＋b≤4，则(　　)A．＋≤1　　 B．＋≥2C．ab≤4　　 D．ab≥8【答案】C2．已知正实数a，b满足a＋b＝，则ab的最小值为(　　)A．1　　 B．　　　C．2　　 D．4【答案】C3．若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)A．3＋2　　 B．3＋C．2＋2　　 D．3【答案】A4．(多选)下列不等式的证明过程正确的是(　　)A．若a＜0，b＜0，则＋≥2＝2B．若x，y∈R，则lg x＋lg y≥2C．若x为负实数，则x＋≥－2＝－4D．若x为负实数，则2x＋2－x≥2＝2【答案】AD5．(多选)设a＞1，b＞1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)A．a＋b有最小值2(＋1)B．a＋b有最大值(＋1)2C．ab有最大值3＋2D．ab有最小值3＋2【答案】AD　【解析】根据a＞1，b＞1，得a＋b≥2，从而ab－2≥1，解得≥＋1，所以ab≥(＋1)2＝3＋2，即ab有最小值3＋2；由ab≤2，得(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得a＋b≥2(＋1)，即a＋b有最小值2(＋1)．6．已知a>0，b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．【答案】2　【解析】因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝时，取等号．7．一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积最大．【答案】15　　【解析】设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以矩形菜园的面积S＝xy＝x(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．8．(2020年天津)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．【答案】4　【解析】因为a>0，b>0，且ab＝1，所以＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＝2＋，b＝2－或a＝2－，b＝2＋ 时取等号．9．已知正数a，b满足a＋b＝2，求＋的最小值．解：＋＝＝≥＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．所以＋的最小值为.10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求＋的最小值．解： (1)因为x>0，y>0，所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.(2)因为x>0，y>0，所以＋＝＝≥＝，由解得当且仅当x＝，y＝时，等号成立．所以＋的最小值为.[B级　能力提升]11．若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件C．充分必要条件　　　　D．既不充分也不必要条件【答案】A　【解析】当a>0, b>0时，a＋b≥2当且仅当a＝b时取等号，则当a＋b≤4时，有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a＝1, b＝4时，满足ab≤4，但此时a＋b＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．12．(多选)在下列函数中，最小值是2的函数有(　　)A．f(x)＝x2＋B．f(x)＝cos x＋C．f(x)＝D．f(x)＝3x＋－2【答案】AD　【解析】A中，x2＞0，＞0，所以f(x)＝x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝1时取等号．B中，令t＝cos x，则0＜t＜1，令f(x)＝g(t)＝t＋，t∈(0,1)，求导易知g(t)在(0,1)上单调递减，得g(t)＞g(1)＝2，即f(x)＞2.C中，f(x)＝＋，同理可求得f(x)＞2.D中，f(x)＝3x＋－2≥2－2＝2，当且仅当3x＝，即x＝log32时取等号．13．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．【答案】　【解析】由题设知a－3b＝－6，又2a>0,8b>0，所以2a＋≥2＝22＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号．故2a＋的最小值为.14．(一题两空)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．【答案】2　　【解析】因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a2b≤2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2.因为＋＝＝≥＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为.15．(2021年南京学情调研)销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P＝；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt，其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f(x)万元．(1)求函数f(x)的解析式；(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润总和最大，并求最大值．解：(1)由题意P＝，Q＝bt，故当t＝3时，P＝＝，Q＝3b＝1，解得a＝3，b＝.所以P＝，Q＝t.从而f(x)＝＋，x∈[0,3]．(2)由(1)可得f(x)＝＋＝－.因为x∈[0,3]，所以x＋1∈[1,4]，故＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时取等号．从而f(x)≤－2＝.所以f(x)的最大值为 .所以分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是万元[C级　创新突破]16．(2021年宿迁期末)已知正实数a，b满足a＋2b＝2，则的最小值为________．【答案】　【解析】因为a＋2b＝2，所以＝＝＝＝＋＋≥2＋＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，所以所求的最小值为.17．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元．当0