圆锥曲线常用结论整理 (1).docx

圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理椭圆问题小结论：21. 与椭圆 xa 2x22y 1 共焦点的椭圆的方程可设为b2y2x2 y2a 2 b2x2 y21, b2 02. 与椭圆2 2 1 有相同的离心率的椭圆可设为a b2 2 , 0a bx2 y2或 2 2 , 0b a3. （中点弦结论）直线 l 与椭圆x2 y22 2 1 相交与a bA x1, y1b 2, B x2 , y2两点，其中点P x, y 为线段ＡＢ的中点，则有：K ABK OP2 ；若aP0 (x0 , y0)在椭圆2 2x y 1内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2 2x0 x y0 y x0 y02 2 2 2 2 2a b a b a by2 x2 a 2若椭圆方程为2 2 1 时，a bK ABKOP 2 ；bx2 y24. （切线结论）若P0 (x0, y0)在椭圆2 2 1 上，则过a bP0 的椭圆的切线方程是x0 x y0 y1 . 以P (x , y )为切点的切线斜率为 kb2 x00；a 2 b 20 0 0x2 y2a2 y5. （切点弦结论）若P0 (x0 , y0 )在椭圆2 2 1 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为a bP1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是x0x y0 y 1.a2 b2x2 y26. 椭圆的方程为2 2 1 （ a＞ b＞ 0），过原点的直线交椭圆于a bA, B 两点， P 点是椭圆上异于A, B 两点的任一点，则有b 2K PA K PB 2a7. （焦点弦结论）设 P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点 ,F 1、F2 为其焦点记F1PF2 ，则(1)| PF1 || PF2 |2b 21 cos.(2)S PF1F 2c | yP| =b2tan.(3) 当 P 点位于短轴顶点处2F1PF2最大。

10. 椭圆的两个顶点为x2A1(y2a,0) ,A2(a,0)，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2 P2交点的轨迹方程是11. 过椭圆上任一点2 2 1 .a bA( x0 , y0) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC有定向且kBCb2 x a2 y00（常数） .拓展：过椭圆上任一点A(x0, y0 ) 任意作两条斜率之和为定值的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC有定向，即斜率为定值14.O 为坐标原点， P、Q为椭圆上两动点，且 OP OQ .（1）1 1 1 1;| OP |2| OQ |2a 2 b 22 2（2） |OP| +|OQ| 的最大值为4 a 2b 2;（3） SOPQ 的最小值是a 2 b2a 2b 2.a 2 b215. 若 AB 是过焦点 F 的弦 , 设AF m,BF n , 则1 1 2am n b2双曲线小结论x2 y21. （ 1）与2 2 1 有相同焦点的双曲线方程为a bx2a 2x2 y2y 1, 0, a22b 20, b 2 0（2） 与2 2 1 有相同焦点的椭圆方程为： a bx2 y2a2 b 21, 0, a 2b 2 02（3） 与 xa2y2b 2 1 有相同焦点的双曲线方程为：x2 a 2x2 y2y 1, 0, a22b 20, b2 0（4） 与a2 b2 1 有相同离心率的双曲线方程为：x2 y2①焦点在 x 轴上时：2 2 , 0, 1a by2 x2②焦点在 y 轴上时：2 2 , 0a bx2 y2 x2 y2（5） 与a2 b2 1 有相同的渐近线方程为： a 2 b2 , 0, 1 ；2 22. （中点弦结论）直线 y kx m 与椭圆 x y1 相交于A x , y, B x, y ，其中a2 b2b 21 1 2 2x2 y2点 P x, y 为线段 AB 的中点，则K ABK OP2 ，若aP0( x0 , y0 ) 在椭圆2 2 1a bx x y y x 2 y 2内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0 0 0 0a2 b 2 a 2 b 2若双曲线的焦点在 y 轴上时，K ABa 2K OP b2 。

3. （焦点三角形结论）设 P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点 ,F 1、F2 为其焦点记F1PF2，则 (1)| PF1 || PF2 |2b 21 cos.(2).S PF1 F22btan22 24. AB 是双曲线 x y1 的不平行于对称轴的弦， M( x , y) 为 AB的中点，则kOM k ABa2b22 ，即ab 2KAB0 00b2x0a2 y x2 y25. 双曲线的方程为2 2 1（ a＞0， b＞ 0），过原点的直线交双曲线于a bA, B 两点， P点是双曲线上异于A, B 两点的任一点，则有b2K PA K PB 2ax2 y26. （切线结论） 若 P0( x0 , y0 ) 在双曲线a 2 b2 1上，则b2 x（1） 以P ( x , y) 为切点的切线斜率为 k 0 ；00 0 0a2 y（2） 过P 的双曲线的切线方程是x0 x y0 y 1 .0 a 2b 2x2 y27. （切点弦结论）若P0 (x0 , y0 )在双曲线2 2 1 外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切a b点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是x0x y0y 1 .8. 双曲线的两个顶点为a 2A1( a,0) , A2(a,0)x2 y2b 2，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程是2 2 1 .a b9. 过双曲线上任一点A( x0, y0) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线b2 xBC有定向且kBC00a2 y（常数） .拓展：过椭圆上任一点A(x0 , y0 ) 任意作两条斜率之和为定值的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC有定向，即斜率为定值。

10. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为2b2,a11. 双曲线焦点到渐近线的距离总是 b . 顶点到渐近线的距离为 abc12. 双曲线任意一点到两渐近线的距离之积为定值a 2b 2c223. 若 AB是过焦点 F 的弦, 设AF m, BF n, ,AB 交在同支时 ,1 1 2 a2 ,AB 交在两支时 ,1 1 2 a2( 设 m n)m n bm n b抛物线小结论1 抛物线的通径长为 2P ，弦的端点坐标为PA P , p 和 B 2P , P ，设准线与 x 轴的交点2为 E ,02，则 K AE1,K BE1, K AEK BE0 ， K AEK BE 1，2. 设 AB 为过抛物线倾斜角为 ，则p 2y 2 2 px ( p0) 焦点的弦， A(x1, y1 ) 、B( x2, y223) ，直线 AB 的（ 1） . x x, y y p 2;OA OB p ；1 2 1 24 4（ 2）AF x p p , BF x p p1 22 1 cos 2 1 cos（ 3）AB x1 x2 p2 psin 2 ;（ 4） 1 1 2 ；| FA | | FB | P1 1 p 2（ 5） SAOBOA OB sin AOB OF hF ；2 2 2sin（ 6） AO 的延长线与准线相交于点 C ，则 CB Px 轴；若经过点 B 向准线作垂线，交准线于点 C ，则 A, O,C 三点共线；（ 7）过点A, B 分别作准线的垂线，垂足分别为D,C ，则以 CD 为直径的圆与 AB 相切于点 F ，则 CF DF 。

8）以 AB 为直径的圆与准线相切，以 AF或BF为直径的圆与 y 轴相切；（ 9）焦点 F 对 A 、B 在准线上射影的张角为 ；2（ 10）如图所示，以 A, B 两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点 M，则有：（ 1） M点必在准线上；（ 2）设线段 AB 的中点为 N，则 MN / / x轴 ，即yy1 y2M2；（ 3） MF ABp3. （切线结论）以 A 为切点的切线斜率为，切线方y1程为 y1y p x x1（切点弦结论）过 A 作抛物线的两条切线，切点为 A,B, 则切点弦 AB的直线方程为y1 y p x x11 1 2 21 2 1 24. 已知抛物线方程为y 2 2px ( p0) ，定点 Mm,0 m0 ，直线 l 过点 M交抛物线于 A， B两点，A( x , y) 、B( x , y) ，则有。