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论文题目： 离散竞争动力系统的一般性质及反应扩散方程解的收敛 性 作者简介:王毅，男，1975 年 12 月出生，1999 年 09 月师从中国科 学技术大学蒋继发教授，于 2002 年 06 月获博士学位 论文题目： 离散竞争动力系统的一般性质及反应扩散方程解的收敛 性 作者简介:王毅，男，1975 年 12 月出生，1999 年 09 月师从中国科 学技术大学蒋继发教授，于 2002 年 06 月获博士学位 摘摘 要要 竞争系统的研究具有很长的历史，它诞生于上一世纪 20 年代，由意大利数学家 V. Volterra 所开创 在上世纪 80 年代后， 著名数学家 S. Smale 和 M. W. Hirsch 开创了这一分支研究新阶 段‐‐‐‐‐‐利用动力系统原理研究竞争系统共有的动力学性质而后 M. W. Hirsch 和 H. Matano 创造的单调动力系统理论又迅速促进了竞争系统的发展 近年来， E. C. Zeeman， M. L. Zeeman 以及由 ICM98 一小时报告者 K. Sigmund 为首研究小组对竞争 Lotka‐Volterra 系统的研究工作 尤为突出。

以上的工作都集中于自治系统， 而当考虑到环境条件因时间或季节而周期变化时， 就相应产 生了竞争周期系统， 利用周期系统的 Poincaré映射往往可将周期系统解的动力学性态用离散 动力系统来刻划而对离散竞争系统的研究吸引了包括 J. K. Hale, P. Hess, H. L. Smith 以及 P. Takac 在内的大量学者的注意 其中，H. L. Smith 率先对反映种群生态的周期竞争 Kolmogorov 系统产生的 Kolmogorov 型离 散竞争动力系统进行了深入讨论，并留下了搁置近 20 年之久的关于离散竞争动力学的 “Smith”猜测：即，若每个物种都能在各自的唯一不动点上生存（原点为排斥子） ，则在大 范围意义下，原点排斥子的上边界Σ（称为负载单形）是系统的全局吸引子，且Σ是无序的 并通过径向投影同胚于标准 n‐1 维概率单形 围绕这一猜测还留下如： 负载单形Σ的光滑性、 周期轨非稳定流形的位置等一系列相关的重要公开问题 “Smith”猜测暗示了 S.Smale 的关于自治竞争 Kolmogorov 系统的构造绝非偶然 同时也显 示了研究三维 Kolmogorov 型竞争周期系统就象研究两维周期系统一样，从而可以为研究诸 如三维 Kolmogorov 型周期竞争系统无穷多个次调和解的存在性、负载单形Σ内具有 Hamiltonian 结构的条件等许多重要问题提供理论基石。

1988 年，M. W. Hirsch 利用单调自治系统的极限集两分法理论，证明了这一猜测在自治情形 下成立遗憾的是，M. W. Hirsch 证明的核心理论‐‐‐极限集两分法只适用于自治系统而在离 散系统中却不成立， 要解决该猜测必须采用新方法 因此该猜测及其相关问题一直未被解决 并成为离散竞争动力系统中的重要难题 另外关于负载单形Σ的光滑性问题即使在自治情形 下也仍被 M. W. Hirsch 提为公开问题 本篇论文的第一部分将致力于解决“Smith”猜测及其相关公开问题 为解决“Smith”猜测，我们首先系统地研究了强序拓扑向量空间上抽象离散竞争动力系统 的一般性质 对于在强序拓扑向量空间上的抽象离散竞争动力系统， 我们研究了极限集的序 结构和极限集的几何位置: 利用非振动原理及和全新的 ‐不变超曲面理论证明了任何α‐或 ω‐极限集是无序的且位于一个完全无序、余维为 1 的不变 Lipschitz 子流形上这精确说明 了离散竞争动力系统的动力学性态本质是余维 1 的，从而把 M. W. Hirsch 关于竞争连续流动 力学性态的结果推广到非常一般的状态空间上的离散竞争动力系统中。

同时，这一结果为 “Smith”猜测的解决作了重要铺垫作为这一结果的另一重要应用，我们还首次证明了关 于平面竞争映射的 Sarkovskii 定理我们还进一步讨论了平面竞争映射产生的 Li‐York 浑沌等 复杂动力学性态 随后，我们利用已得到的结果解决“Smith”猜测及其相关公开问题以下为基本步骤：对 于抽象的有限维 Kolmogorov 型离散竞争系统， (1)我们首先在耗散性及锥内部强竞争性的假设下证明了存在一簇至多可 数个互不相交的 n‐1 维不变子集，它们吸引所有不渐近于周期轨的持续轨道；作者同时还深 刻分析了这些 n‐1 维不变子集的拓扑结构和相互联系 (2)在此基础上，我们利用全新的 ‐不变超曲面理论和上（下）极限集的 ω‐稳定性理论彻底解决了“Smith”猜测并且证明了任意周期轨的非稳定流形都位于负载 单形Σ上 (3)紧接着，我们利用向量丛指数分离理论、Oseledec 遍历理论、Pesin 理 论及 persistent 理论解决全局吸引子Σ的 光滑性我们得到了若系统是 的且限制到每一个 子面上都是 uniformly persistent 的，则其全局吸引子Σ是 的。

从而使得 Hirsch 提出的关于 连续竞争动力系统负载单形光滑性公开问题成为本文结果的自然推论 在本论文的第二部分，我们将研究有序 Banach 积空间上单调动力系统的收敛性及其在（周 期）拟单调反应扩散方程组初边值问题中的解渐近性态的应用 有关此方面现有的几乎所有结果都是建立在单个偏微分方程或不可约拟单调反应扩散方程 组上的，之所以如此是因为这两类方程的解在适当的 Sobolev 或分数幂空间上具有强单调性 质包括 Matano, Dancer 及 Smith 在内的数学家指出在没有不可约(强单调)的假设下解决收 敛性是困难的但遗憾的是，在模拟生物生态系统时往往反应扩散系统却总是非强单调的, 例如 Lotka‐Volterra 反应扩散系统等等为了解决这一问题，我们创造了一种全新的方法， 在没有不可约(强单调)的假设下，利用有序 Banach 积空间中单调系统的抽象理论统一处理 了子齐次、弱子齐次以及拥有保序首次积分等几类周期(自治)拟单调反应扩散方程组非负解 的渐近周期(收敛)性问题具体地说，我们将极限集与特殊的不动点作比较，从而在无限维 系统中构造出一个有限整数值函数 ，利用该整数值函数的递归性质并结合部分度量理论以 及非线性泛函分析中的正算子理论对原有序 Banach 积空间的坐标子空间的个数进行归纳从 而最后得出系统的收敛性。

同时我们把这些结果应用于模拟生物生态系统的 Lotka‐‐Volterra 反应扩散方程组， 从而在最合理的弱假设下推广了包括数学家 Hirsch， Dancer， Hess 和 Takac 等许多前人的结果 同时我们的结果对模拟生物生态系统的反应扩散方程组的应用解决了无 法将强单调理论应用于此类方程组的棘手问题 Abstract The earliest investigation of competitive systems can be traced back to 1920’s, due to the work by Italian Mathematician V. Volterra. After the mid‐1980s, the research on competitive systems, beginning with the path‐outbreak contributions by S. Smale and M. W. Hirsch, have reached a new stage, that is, the theory of dynamical systems is introduced in studying the common properties of competitive systems. Thereafter, competitive systems have undergone extensive investigations due to the monotone dynamical systems developed by M W. Hirsch and H. Matano. Recently, important progress in competitive Lotka‐Volterra systems has been presented by E. C. Zeeman, M. L. Zeeman and the research group leaded by K. Sigmund, who gave a plenary lecture on ICM 98. The above‐mentioned work focuses on autonomous systems. If one wants to model systems with day‐night and seasonal variant, he needs to study competitive systems with time periodic. One can describe the asymptotic behavior of the solutions according to the discrete‐time dynamics of the Poincare mapping associated with the periodic systems. Many mathematicians have involved in the investigations of discrete‐time competitive systems, such as J. K. Hale, P. Hess, H.L. Smith and P. Takac, etc. The dynamics of Kolmogorov‐type competitive mapping associated with the time‐periodic competitive Kolmogorov systems of ODEs were first studied by H. L. Smith, who Conjectured that if each species could survive in the absence of the others at a unique fixed point (the origin is a repeller) then the boundary Σ of the basin of repulsion of the origin should contain the global attractor for the dynamics. Σ(called carrying simplex) is unordered and homeomorphic to the standard probability (n‐1)‐simplex by radial projection. Related to Smith Conjecture, there are several important open problems remaining, such as the smoothness of the carrying simplex Σ, the position of the unstable manifolds of the periodic orbits, etc. Smith Conjecture implies the essence of Smale’s construction in autonomous competitive systems. Furthermore, it shows t。