高中数学 三角函数的图象与性质 考点梳理及习题训练.pdf

4.3三角函数的图象与性质基础落实 回扣基础知识训练基础题目r知识梳理i .用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数y=s in x,尤 e 0,2兀 的图象中，五个关键点是：（0,0）,（J,1）,（兀，0）,律，-1）,（2兀，0）.（2）在余弦函数尸cos x,xd 0,2同的图象中，五个关键点是：（0,1）,（$0）,（Ji,-1）,作，0）,（2兀，1）.2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中ZGZ）函数y=sinxy=cosxy=tanx图象y_2I 1y T r_7T1TT3,.p j XZ TX定义域RR卜卜彳j值域LU1L L ilR周期性2兀2兀匹奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间_ ,7 1 ,712ZC7T 2，i-2|2左兀一兀,2%兀（左 兀 一 5，左 兀+会)递减区间,71,3712左 兀 1 2，2攵 兀 1 2|2-兀，2女 兀+兀 无对称中心(ku,0)（左兀+率0）件对称轴方程x kn 无概念方法微思考1.正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提 示 正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期.2.函数/（x）=Asin（0 x+9）（AWO,0WO）是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？T T提 示（i y（x）为偶函数的充要条件是0=+也（左 GZ）；（2 （无）为奇函数的充要条件是题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“或“X”）（l）y=sinx在第一、第四象限是增函数.（X）（2）由 sin（袭+金=sin翔，,是 正 弦 函 数 产 sin尤（尤GR）的一个周期.（X）正切函数y=tanx在定义域内是增函数.（X）（4）已知y=k s in x+l,尤G R,则 y 的最大值为左+1.（X）题组二教材改编2.函数/（尤）=侬（2尤 十 雪 的 最 小 正 周 期 是.答 案7 13.y=3sin（2x一在 区 间 0,专 上 的 值 域 是.答 案 r一 3本 3I角 牛 析1 当_入 T C时 1，2 x 一47 T|一不7 L 不5 兀故 3 s in(2 x gw 一/3.口.木/7 i 十,5ku 至5 兀 +Rki(i&e z)兀 3 7 1 7 T解析 由-2 +kn2x -2 +kn(k Z),Tl.kTl 5 兀|加八 、相+4 +三（e Z）,所 以 尸 一t an（2 x 苧）的单调递减区间为低+竽素+$%G Z）.题组三易错自纠5.（多选）下列函数中，最小正周期为无的是（）A.y=c o s|2 x|B.y|c o s xC.y=c o s（:答 案 A B C解析 A项，y=c o s|2 x|=c o s 2 x,最小正周期为兀；B项，由图象知y=|c o s x|的最小正周期为7 1；C项，尸 c o s（2 x+的最小正周期丁=竽=兀；D项，尸 t an（2 x 一习的最小正周期丁=与6.(多选)已知函数/(%)=5皿一?(R),下列结论正确的是()A.函数/(x)的最小正周期为2兀JTB.函数“X)在区间 0,5)上是增函数C.函数/(x)的图象关于直线x=。

对称D.函数/(x)是奇函数答 案 ABC解析 由题意，可得/(x)=COS尤，对于选项A,7=卓=2兀，所以选项A 正确；T T 7 T对于选项B,尸 cosx在 0,之上是减函数，所以函数了在区间 0,之上是增函数，所以选项B 正确；对于选项C,/(X)=cos(X)=cos x=/(x),所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x=0 对称，所以选项C 正确；选项D 错 误.故 选 ABC.7.函数的对称轴为,对称中心为.答案 x=,+E,左 GZ 仔+E，0),/GZ7 T 兀 37r 兀 兀解析 由 左 W Z,得 冗=彳+航，k G Z,由=攵兀，W Z,得 x=a+E,kZ.故 函 数 y=sin Q 的 对 称 轴 为 x=乎+左 兀，；对 称 中 心 为 e+E,0),%Z.三角函数的定义域和值域A.2一4 B.0 C.-1 D.-1-3答 案 A解 析 因 为 0W xW 9,所以一所以一坐Wsin管一则一小WyW2.所以 y m a x+y m in =2一小.(2)函数y=y/sin%cos%的定义域为.T T 5兀答案 2左 兀+彳，2 E+彳(%Z)解析 要使函数有意义，必须使sin%cos x20.利用图象，在同一坐标系中画出 0,2兀 上丁=5由%和 y=cosx的图象，如图所示.在 0,2兀 内，满 足 sin x=c o sx 的 x 为 小 y,再结合正弦、余弦函数的周期是2兀，所以原函数的定义域为口k Z j.T T 7兀(3)当 不，不 时，函数y=3 sinx2cos2%的值域为.答 案-(7，2解析 因为XW稿兀 ,y7兀 j1 ,所以sin x e|-T1，1.又 y=3 sin x2cos2x=3 sin x _ 2(1 sin2x)=2fsinx)2+1,1 7 1 ,-7所以当sinx=a时，ymin=g9当s in x=-或 s in x=l时，m a x=2.即函数的值域为R,2.(4)(2018 全国I)已知函数/(x)=2sinx+sin 2 x,则/(%)的最小值是.答 案 一 半解析 f(x)=2 c o sx+2 c o s 2 x=2 c o s x+2(2 c o s2x 1)=2(2COS2X+COS x l)=2(2 c o s x l)(c o s x+1).*.*c o s x+1 2 0,当CO S%d 时，(x)3时，f(x)0,/(x)单调递增，当CO SX=1 时，/(%)有最小值.又/(x)=2 si n x+si n 2 x=2 si n x(1 +c o s x),且 当 c o s%=；时，si n x=士坐，巧 当si n x=2时，/(%)有最小值，即 X)m m =2 X 1 明 X (1 +0=一 挛思维升华 求解三南函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asi n(s:+9)+c 的形式，再求值域(最值).(2)形如y=asirx+Z?si nx+c的三角函数，可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)形如y=asin x c o s x+/?(si n x c o s x)+c的三角函数，可先设，=si n 壮c o s x,化为关于1 的二次函数求值域(最值).(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.跟踪训练1 已知函数x)=si n G+f),其中x G 一?a,若/(X)的值域是；,1 ,则实数a的取值范围是答 案1，兀&7 3 4-.兀 .7 1 兀 ,7 1解析 g,a,.x+g G 十%，:当x+G _ 1 时，/(X)的值域为 1,1,.由函数的图象(图略)知，舞”+普，(2)函数 y=sin xcos x+sin xcos x 的值域为.r _i+2 V2口 2，工 一於角 星 析 设/=sin%cos%,贝 1 pMsinZx+cos22sin x cos 尤，sin xcos x5且*2 1 1.=-5+f+2=(L l)2+l,/2,y2,当 f=l 时，y m a x=l；当 f=一啦 时，y m in=+；也.力物估1+2啦 .,.函数的值域为一一于J,1.三角函数的周期性与对称性1.下列函数中，是 周 期 函 数 的 为()A.y=sin x B.y=cos xC.y=tan|x|D.y=(x1)答 案 B解析:co s|x|=cosx,；.y=cos|x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.2.若函数/(x)=2tan+?j的最小正周期T 满 足 1T2,则 自 然 数 上 的 值 为.答 案 2 或 3JT解 析 由题意得1 产2,Z&N,女=2 或 3.3.函 数 尸ta n(f+的 图 象 的 对 称 中 心 是.答案 3T 0),kE Z解 析 由Z),2兀得 x=k7i(k Z),即其对称中心为(也一号，0),j f c e z.4.(2 0 2 0 无锡调研)已知函数/(x)=si n(o x+0)(。

0,H k/)的最小正周期为4兀，且V xG R有/(x)W/e成立，则/(x)图 象 的 对 称 中 心 是,对称轴方程是.答 案(2航一争,0),%GZ x=2 M t+率 k&7j解析 由/(x)=si n(c o x+夕)的最小正周期为4兀，得因为/(x)W陪)恒成立，所以y(x)m a x=/停)，即X+9=垓+2E,k J Z,又 酬 与 所以夕=全 故/(x)=si n&+.1 7 1 2 兀令1 x+g=E,左 Z,得 冗=2祈一百，kGZ,故/(x)图象的对称中心为(2 E一季0),f c e z.兀 71 71令那+g=E+，k R Z,得 x=2 E+g,kGZ,J T故/(x)图象的对称轴方程是X=2 E+Q,%Z.思 维 升 华(1)对于函数y=Asi n(s：+9)(AW 0,g W O),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.(2)求三角函数周期的方法利用周期函数的定义.2兀7 T利用公式：y=Asi n(s:+9)和y=Ac o s(s;+9)的最小正周期为由，y=ta n x+9)的最小正周期为由.题型三三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例2函数/(x)=sin(2尤+2的单调递减区间为i _ f-.:_ ,7 L 1 1 57r答案 左 兀 一 记，析+五，%Z解析 f(x)=sin =sin (2 x 由 2E kGZ,得 左 兀 一 五 运，kZ.TTS j r故所求函数的单调递减区间为 也一五，E+适J kez.(2)函数/(x)=t an(2 x+的单调递增区间是.口.木 (kit 51 2兀,2ku+,司7 i A/6)解 析 由kit2 2%+铲 也+2(左2),所以函数/(x)=tan(2元+)的单调递增区间为自一相，y+y )(e z).(3)函数y=/in x+坐 cos+金 。

部的单调递增区间是.答 案 o,1角 星 析 Y y=；sin 尤+坐 cos x=sin(x+,由 2 E +0,函数/(x)=sin(o x+；)在&兀)上单调递减，则的取值范围是答“案|_12 451解 析 由2a 兀，co0,/eCOTI 兀 兀 兀,f r 2 +4板Z,得=0,所以口.引申探究(Tl(11 本例中，若 已 知 0,函 数/(%)=C OS(S：+J在G，可上单调递增，则C O的取值范围是答案 29 4解析 函数y=c o s x的单调递增区间为 兀+2 E,2 E,kGZ,con,兀、,c,十1三一兀十2人 兀，ZGZ,兀兀+2左 兀，解得 4左 一 女 一,kGZ,又由4左 一|一(2左一次0,左G Z且4左一|0,上GZ,-3 T得左=i,所以e 5，z.思 维 升 华（1）已知三角函数解析式求单调区间求形如=羔 皿 5：+9）或 y=Acos x+9）（其 中 00）的单调区间时，要 视“cox+p”为一个整体，通过解不等式求解.但如果0,可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错.（2）已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.跟踪训练2 尸 sincos抽单调递增区间为答案 4女 兀 一 冷，4析+咨（Z）解析 y=V2sin（j 7）,TT X TT,71由2 E 一 W2 2 析+5（左2）,TT3T E得 爹（左 Z）.函数的单调递增区间为4内 i一 去 4左兀+当（正 Z）.若函数g（x）=sin（2 x+*E 区间。

2 和限用上均单调递增，则实数a 的取值范围是答 案,却解 析 由 2 E *W2x+装 W2祈+去%Z）,TT TT可得左。