光子角动量及其应用前景.pdf

-1- 光子角动量及其应用前景光子角动量及其应用前景 袁素真 北京师范大学物理系，北京， （100875） E-mail: yusuzh2003@ 摘摘 要：要：本文简单介绍了光场角动量的基本概念概括了具有轨道角动量的特殊光束-高斯 拉盖尔光束的特点及产生方式，在其产生过程中总结出带角动量的光束和物质相互作用时 角动量发生转移给出了不具有螺旋相位结构却有轨道角动量的椭圆光束这些带有角动 量的光束与微米粒子相互作用时所产生的微小的力可以起到对微米粒子的囚禁和旋转作 用，这就为生物细胞的光学导引、囚禁与操控领域提供了广阔应用前景 关键词：关键词：角动量；高斯-拉盖尔光束；椭圆高斯光束；螺旋相位 1. 引言引言 光子是信息传递的重要载体，可以通过对光子的能量、线动量和偏振态进行分析解码 得到它所携带的信息近年来，光子的另一物理量——轨道角动量（orbital angular momentum）被广泛关注1992 年，Allen 和他的合作者[1]指出拥有方位角相位为()φilexp （l为整数） 的光学近轴圆柱型光束在其传播方向上每个光子具有离散的轨道角动量值h l， 当合适的模式和物质相互作用时轨道角动量会产生机械效应[2]。

在量子领域，人们对单光子或纠缠光子进行量子信息处理感兴趣，这些单光子或纠缠 光子能够用具有明确角动量的态叠加而得到[3-12]所以研究轨道角动量对研究量子纠缠很 有帮助带有轨道角动量的光束可以在宏观物体上产生机械力矩，并且现在每个光子可以 转移给物体的机械力矩可以很大（因为现在能够让单个光子的轨道角动量达到 10000h已 经实现了[13]） ，这样光和粒子相互作用的过程中就能使粒子转动，并形象称之为光学扳手 近年来，带有明确角动量的光束高斯-拉盖尔（Laguerre-Gaussian beam ,LG 光束）光 束引起人们的广泛关注它具有轨道角动量h l，1993 年，Beijerbergen 等人提出一束本无 角动量的高斯-厄米光束（Hermite-Gaussian，HG 光束）经过一对柱面透镜变换后可以转换 为具有轨道角动量的 LG 光束[2]本文就光场角动量的基本概念、LG 模的基本特点及产生 方法、轨道角动量的应用前景作简单介绍 2. 电磁场中的角动量电磁场中的角动量 电磁场是一种物质形态，在空间是连续分布的，它具有能量、线动量和角动量这些 量是守恒量，这种守恒性可以由密度和密度流的连续性方程来体现。

电磁场中的角动量密 度矢量是位置矢量与动量密度()BE× 0 ε的叉乘： (). 0 BErj××=ε （1） 上式对体积 V 积分可以得到角动量： -2- (). 0 BErJ××=∫ V ε （2） 由（1）式，角动量密度的i分量可以写为： (), 00jjijjimlklmjijki ExBBxEBExj−==εεεε （3） 重复指标代表求和，其中 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =− =+ = others ijk ijk ijk 0 321,213,1321 312,231,1231 ε 角动量守恒可以用类似于动量守恒的连续性方程来表示 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ il i i M x j t （4） 其中 il M是角动量流密度，是位置矢量r与动量流密度T的叉乘 (). 2 1 1 00 21 0 2 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−+= = −− lklkkljijk kljijkil BBEEBEx TxM µεµεδε ε （5） 其中动量流密度分量() jijiijij BBEET 1 00 21 0 2 0 2 1 −− −−+=µεµεδBE。

角动量流密度就是 单位时间内，通过单位面积的角动量，所以i方向的角动量连续性方程的积分形式为： l S il V ii dSMdVj t J t ∫∫ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ （6） 我们知道，经典力学中粒子系统的总角动量可以分为两部分：第一部分是描述与整个系统 质量中心相关的角动量，第二部分是组成系统的其它粒子相对于质量中心的角动量第一 部分与系统坐标的选取有关，而第二部分的值与坐标选取无关在量子力学中，除了这两 部分 （可以称为纯粹的轨道角动量） ， 还有另外在经典粒子场完全找不到可对应的量的内禀 的或称自旋角动量（与所选系统原点位置无关） 大家知道，简单的将角动量J严格的分为 轨道角动量和自旋角动量是不准确的， 因为当光子静止时没有相对应的理论[14 ，15，16] 然而 为了明了起见，我们根据其物理意义将角动量分为如下两部分[17]： SLJ+= （7） 其中 -3- (), 3 0jj j V AEd ⊥⊥ ∇×= ∑∫ rrLε （8a） , 3 0⊥⊥× = ∫ ArES Vd ε (8b) 这里的⊥符号表示场的横向成分 （任何场F的横向成分满足0=⋅∇ ⊥ F） ， 因为L和S是矢 势A的横向部分的函数，所以他们是规范不变量（因为A的横向部分是规范不变量） 。

并 且注意到L和S的变化与系统坐标原点的选取无关，并且L和S满足类似于方程（4）的 连续性方程 对于单纯的经典近轴光的传播，沿传播方向的总的角动量可分为轨道角动量和自旋角 动量，他们分别与光的相位分布和偏振有关[1 ，18]从库仑规范下的矢势 A着手，并且在近 轴电磁场中，有关系式ABAE×∇=∂∂−=, t成立，又由方程（8a）和（8b）可以得到L 和S的 z 方向分量为[19]: (), 2 0,, ,, 0 0 kdklL pl pl zσ σ α ∑ ∫ ∞ = (9a) (), 2 0,, ,, 0 0 kdkS pl pl zσ σ ασ ∑ ∫ ∞ = (9b) 由此可见：近轴近似下，沿光传播方向的总角动量 z J可以分解为两部分：轨道角动量 z L， 和自旋角动量 z S 前面得到了轨道角动量和自旋角动量的经典近轴表述 下面将延伸到场的量子化的近轴 表述[19] ()(),ˆˆ ˆ 0,,0 ,, 0 ,,0 kakadkl pl pl plzσ σ σ ∑ ∫ ∞ + =hL （10） ()(),ˆˆ ˆ 0,,0 ,, 0 ,,0 kakadk pl pl plzσ σ σ σ ∑ ∫ ∞ + =hS （11） 随着电磁场理论的进一步发展和完善，把总角动量J分解为轨道角动量和自旋角动量 并不具有普遍性。

例如，LG 光束具有轨道角动量，通过光束偏振态的变化可以分别观测 -4- 到自旋和轨道角动量，但是因为这一模式并不是麦克斯韦方程的完备解，只是近轴波动方 程的结果，所以有局限性Allen 等人[46-48]指出具圆对称的近轴光束才有角动量，而这一角 动量可以分解为自旋和轨道角动量两部分；而在非近轴条件下，情况将发生变化Barnett 等人[48]在实验中发现，当具有一般模式的光束沿着 z 方向传播时，若不能采用近轴光学近 似，那么可以观察到单位能量的总角动量，但是再也不能分别直接观察到自旋和轨道角动 量 3. LG 模的特征及其产生方法模的特征及其产生方法[2] 3.1 LG模的特征模的特征 大家知道，对于近轴圆偏振光带有自旋角动量，右旋圆偏振光（ + σ）的自旋角动量为 h，左旋圆偏振光（ − σ）的自旋角动量为h−，这种光与双折射片相互作用会有机械力矩 的产生[20]， 这已经被 Beth 证明过了 理论上已经证明了轨道角动量对近轴光是一个很有用 的概念，尤其是对拥有方位角为()φilexp的 LG 光束[1] ，对于线偏振光，用麦克斯韦方程 计算可以得到每个光子所带的轨道角动量是h l，当光是圆偏振的时候，每个光子的总角动 量是()h1±l。

因为 LG 模具有明确的角动量，他在量子信息存储、微米粒子的光学导引、 光学马达和激光囚禁与操控等方面有广阔的应用前景，并且可以作为光学导管、光学镊子 和光学扳手（光学螺旋钳） LG 模的一个重要特征是具有是螺旋相位波前[21], 绕光束传播 方向(z 轴)一周, 相位改变2lπ, 光束横截面上中心处的光强为零, 在 z 轴上存在相位奇异. 它的光强截面和相位截面如图(1)所示然而 LG 模在实际的激光光束中很少见，虽然也能 由激光器产生[22,23]，但是通常是简并的，同时会有()φil±exp成分存在，并且随时间会有 涨落，所以轨道角动量的平均值为零激光器里发射出的光主要是 HG 模所以产生 LG 模的方法就被提出了可以用三种方法产生 LG 模[24]，其中采用螺旋相位片和计算机全息 光栅法都是通过在 00 HG光束中引入一个弧向位相因子，以便在光轴上产生一个螺旋型位 相错位，从而由于相消干涉导致远场环状光强分布的产生另一种是由两个柱透镜构成的 2π模式转换器[2]，可以使 HG 模和 LG 模相互转换，这种几何光学模式转换器可以得到 一个纯的 LG 模式，而采用螺旋相位片和计算机全息难以得到纯的 LG 模式。

这里主要介 绍一下模式转换器方法得到 LG 模并讨论一下这个转换过程中转换装置的作用和转换过 程中力矩的变化 -5- 图(1) 上方是幅角相位()θilexp引起的螺旋波前; 下方是横截面上的光强分布, 中心处光强为零 3.2 模式展开和模式转换模式展开和模式转换 在近轴情况下， 真空中电磁场的波动方程在直角坐标系下的解是 HG 模;在柱坐标系下 的解是 LG 模.二者分别构成正交归一的完备系，可以作为希尔伯特空间的基矢指出一点 HG 模在直角坐标()zyx,,空间展开；LG 模是在柱坐标()zr,,φ空间展开 他们的振幅展开式分别为： ()()()[]()[] ()[]()(),221exp exp2exp1,, 22222 wyHwxHmni wyxRyxikwCzyxu mn HG nm HG nm ψ++−× +−+−= （12） ()()()()() ()()()[] R il l p l LG pl LG pl zzlpiRkri ewrwrLwrwCzru arctan12exp2exp exp221,, 2 2222 ++−−× −= −φ φ (13a) 在这里为了方便把 LG 模写为： ()()( )[]( )[] ()[]()[] () ()( ) ()( ),221 exp1exp exp2exp1,, 22 ,min ,min 222 wrLwr mnimni wrRrikwCzru mn mn mn mn LG nm LG nm − − −× −−++−× −−= ψψ φ （13b） 其中 ( )() ( )() ( )().arctan , 2 1 , 222 22 R RR R zzz zzzzkw zzzzR = += += ψ （14） ( )xHn是 n 阶厄米多项式,( )xLlp是拉盖尔多项式。

k 是波数, R z是模的瑞利长度， -6- nmN+=是模式指数将振幅归一化1 2 = ∫ udxdy得 ().,min !! 2 ,2 !! 2 21 2 21 mn mn C mn C LG nm NHG nm ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − π π （15） 注意到这里 （13b） 的 LG 表示与 （13a） 表示法的对应关系是：()mnp,min=，mnl−= 下面将讨论 HG 模与 LG 模之间的模式转换 根据 HG 多项式与 LG 多项式的关系,可知 LG 模可以用同阶的 HG 模展开 ()()(),,,,,,, , 0 。